专题2 整式的加减[学生用书b58]
题型一用字母表示数及列代数式。
典例 [2018秋·台州期中]某商店在甲批发市场以每包m元的**进了20包茶叶，又在乙批发市场以每包n元(m＞n)的**进了同样的40包茶叶，如果商家以每包元的**卖出这种茶叶，卖完后，这家商店( a )
a．盈利了 b．亏损了。
c．不盈不亏 d．盈亏不能确定。
解析】 由题意可得×(20＋40)－(20m＋40n)＝30m＋30n－20m－40n＝10m－10n＝10(m－n)，m＞n，∴10(m－n)＞0，∴卖完后这家商店盈利了．
点悟】 列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，将先读到的先写，若含有不同级的运算，且又要体现出先低级运算时，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．
变式跟进 1.设某数为m，那么代数式表示( d )
a．某数的3倍的平方减去5除以2
b．某数的3倍减5的一半。
c．某数与5的差的3倍除以2
d．某数平方的3倍与5的差的一半。
2．如图z2－1，表示阴影部分面积的代数式是( b )
图z2－1a．ab＋bc
b．ad＋c(b－d)
c．c(b－d)＋d(a－c)
d．ab－cd
题型二代数式的值。
典例 [2018秋·曲阜期中]如果代数式4y2－2y＋5的值为1，那么代数式2y2－y＋1的值为( a )
a．－1 b．2 c．3 d．4
解析】 根据题意知4y2－2y＋5＝1，则4y2－2y＝－4，∴2y2－y＝－2，∴2y2－y＋1＝－2＋1＝－1.
点悟】 求代数式的值常用的有三种方法：(1)直接代入法；(2)先化简，再代入求值；(3)整体代入法．
变式跟进 3.[2017秋·安平期末]已知－a＋2b＋8＝0，则代数式2a－4b＋10的值为( a )
a．26 b．16 c．2 d．－6
解析】 ∵a＋2b＋8＝0，∴a－2b＝8，则原式＝2(a－2b)＋10＝2×8＋10＝16＋10＝26.
4．当x＝1时，代数式ax5＋bx3＋1的值为6，则x＝－1时，ax5＋bx3＋1的值是( d )
a．－6 b．－5
c．4 d．－4
解析】 把x＝1代入得a＋b＋1＝6，即a＋b＝5，则当x＝－1时，原式＝－(a＋b)＋1＝－5＋1＝－4.
题型三整式的有关概念。
典例下列结论中正确的是( b )
a．单项式的系数是，次数是4
b．单项式－xy2z的系数是－1，次数是4
c．单项式m的次数是1，没有系数。
d．多项式2x2＋xy2＋3是二次三项式。
解析】 a．单项式的系数是，次数是3，故a错误；b.单项式－xy2z的系数是－1，次数是4，正确；c.单项式m的次数是1，系数为1，故c错误；d.
多项式2x2＋xy2＋3是三次三项式，故d错误．
点悟】 (1)确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．注意π是数字，应作为系数；(2)几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．
变式跟进 5.下列说法正确的是( c )
a．单项式是整式，整式也是单项式。
b．25与x5是同类项。
c．单项式－πx3y的系数是－π，次数是4
d.＋2是一次二项式。
6．[2017秋·锦江区校级期末]若关于a，b的多项式3－(a2－mab＋2b2)中不含有ab项，则m＝__
解析】 3－(a2－mab＋2b2)
3a2－ab－3b2－a2＋mab－2b2
2a2＋ab－5b2，该多项式中不含有ab项，m－＝0，即m＝.
题型四同类项。
典例 [2018·包头]如果2xa＋1y与x2yb－1是同类项，那么的值是( a )
a. bc．1d．3
解析】 根据同类项的特征可得a＋1＝2，b－1＝1，解得a＝1，b＝2，∴＝故选a.
点悟】 所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项．注意同类项定义中的两个“相同”：(1)所含字母相同；(2)相同字母的指数相同．这两个“相同”是易混点，另外还需要注意同类项定义中隐含的两个“无关”：①与字母的顺序无关；②与系数无关．
变式跟进 7.[2018秋·路南区期中]下列运算中，正确的是( c )
a．3a＋2b＝5ab
b．2a3＋3a2＝5a5
c．－4a2b＋3ba2＝－a2b
d．5a2－4a2＝1
8．已知－x3y2n与2x3my2是同类项，则mn的值是( a )
a．1 b．3 c．6d．9
解析】 ∵x3y2n与2x3my2是同类项，∴3m＝3，2n＝2，∴m＝1，n＝1，∴mn＝1.
题型五整式的加减。
典例计算：1)5x2－2xy＋4y2＋xy－4y2－6x2；
2)－3(3a2－2b2)－2(2a2＋3b2)．
解：(1)原式＝－x2－xy；
2)原式＝－9a2＋6b2－4a2－6b2＝－13a2.
点悟】 整式的加减的实质是合并同类项．
变式跟进 9.若a>3，化简|a|－|3－a|的结果为( a )
a．3 b．－3
c．2a－3 d．2a＋3
10．化简：(1)3a2＋5b－2a2－2a＋3a－8b；
2)(8x－7y)－2(4x－5y)；
3)－(3a2－4ab)＋[a2－2(2a2＋2ab)]．
解：(1)原式＝3a2－2a2－2a＋3a＋5b－8b＝a2＋a－3b；
2)原式＝8x－7y－8x＋10y＝3y；
3)原式＝－3a2＋4ab＋a2－4a2－4ab＝－6a2.
题型六整式的化简求值。
典例已知a－2b＝7a2－7ab，且b＝－4a2＋6ab＋7.
1)求a等于多少？
2)若|a＋1|＋(b－2)2＝0，求a的值．
解：(1)∵a－2b＝a－2(－4a2＋6ab＋7)＝7a2－7ab，a＝(7a2－7ab)＋2(－4a2＋6ab＋7)＝－a2＋5ab＋14；
2)依题意得a＋1＝0，b－2＝0，∴a＝－1，b＝2.
则a＝－(1)2＋5×(－1)×2＋14＝3.
点悟】 应用整式的加减进行化简求值，一般先去括号，合并同类项，再代入求值．从已知条件中无法求出字母的值时，要观察已知条件与所求代数式之间的关系，有时可以通过整体代入的方法求出．
变式跟进 11.化简：(1)(12xy－x2＋y2)－4(x2－y2＋3xy－3)；
2)5ab2－[a2b＋2(a2b－3ab2)]．
解：(1)原式＝12xy－x2＋y2－4x2＋4y2－12xy＋12
(－1－4)x2＋(1＋4)y2＋12＝－5x2＋5y2＋12；
2)原式＝5ab2－＝5ab2－a2b－2a2b＋6ab2＝11ab2－3a2b.
12．先化简，再求值：
3x2y－，其中x＝3，y＝－.
解：原式＝3x2y－＝3x2y－3x2y－xy＝－xy，当x＝3，y＝－时，原式＝－3×＝1.
题型七规律探索型问题。
典例 [2018·徐州]图z2－2中，每个图案均由边长相等的黑、白两色正方形按规律拼接而成，照此规律，第n个图案中白色正方形比黑色正方形多__4n＋3__个(用含n的代数式表示)．
图z2－2解析】 方法一：
第1个图案黑、白两色正方形共3×3个，其中黑色1个，白色3×3－1个；
第2个图案黑、白两色正方形共3×5个，其中黑色2个，白色3×5－2个；
第3个图案黑、白两色正方形共3×7个，其中黑色3个，白色3×7－3个；
依此类推，第n个图案黑、白两色正方形共3×(2n＋1)个，其中黑色n个，白色3×(2n＋1)－n个，则第n个图案中白色正方形比黑色正方形多3(2n＋1)－n－n＝4n＋3个．
方法二：第1个图案白色正方形8个，黑色1个，白色比黑色多7个；
第2个图案比第1个图案白色比黑色又多了4个，即白色比黑色多(7＋4)个；
第3个图案比第2个图案白色比黑色又多了4个，即白色比黑色多(7＋4×2)个；
依此类推，第n个图案中白色正方形比黑色正方形多[7＋4(n－1)]个，即(4n＋3)个．
变式跟进 13.[2018·绥化]将一些圆按照如图z2－3方式摆放，其中第一行有2个圆，第二行有4个圆，第三行有6个圆…按此规律排列下去，则前50行共有圆__2__550__个．
图z2－3解析】 ∵第一行有2个圆，第二行有4个圆，第三行有6个圆…∴第n行有2n个圆，前50行共有圆2＋4＋6＋…＋100
＝51×50＝2 550个．
1．一个两位数，个位上的数字是a，十位上的数字是b，用代数式表示这个两位数是( d )
a．ab b．ba
c．10a＋b d．10b＋a
2．[2017·河北一模]如果代数式－2a＋3b＋8的值为18，那么代数式9b－6a＋2的值等于( c )
a．28 b．－28
c．32 d．－32
解析】 ∵2a＋3b＋8＝18，∴－2a＋3b＝10.
原式＝3(－2a＋3b)＋2＝3×10＋2＝32.
3．单项式－3πxy2z3的系数和次数分别是( c )
a．－3π，5 b．－3，6
c．－3π，6 d．－3，7
4．下列各组整式中，是同类项的一组是( d )
a．2t与t2 b．2t与t＋2
c．t2与t＋2 d．2t与t
5．[2018·重庆b卷]根据如图1所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值是4或7时，输出的y的值相等，则b等于c )
图1a．9 b．7 c．－9d．－7
解析】 由题意得2×4＋b＝6－7，解得b＝－9.
6．[2018·武汉]将正整数1至2 018按一定规律排列如下表：
平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是( d )
a．2 019 b．2 018
c．2 016 d．2 013
解析】 设中间的数为x，则这三个数分别为x－1，x，x＋1，∴这三个数的和为3x，是3的倍数，又∵2 019÷3＝673，673除以8的余数为1，∴x在第1列(舍去)；2 016÷3＝672，672被8整除，∴x在第8列(舍去)；2 013÷3＝671，671除以8的余数为7，∴x在第7列，符合题意，故这三数的和可以是2 013.
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