第二章 《有理数及其运算》
2.1 有理数。
知识要点一：负数的意义】
负数的意义：表示与正数具有相反意义的量．如果一个正数表示一个事物的量，那么加上“﹣”号后这个量就有了完全相反的意义．0既不是正数也不是负数．
如：规定向东走为正，则向西为负；向上为正，则向下为负；前进为正，后退则为负．
例题】1．在一次数学测验中，某班的平均分为82分，把高于平均分的部分分数记为正，则：小英得92分，应记为＿＿＿若小东被记为﹣12分，他实际得分为＿＿＿
2．某食品包装袋上标有“净含量385g±5g”，这包食品的合格净含量范围是＿＿＿g．
3．电梯上升记为“+”那么电梯上升“﹣10m”表示（ ）
a、电梯下降10m b、电梯上升10m c、电梯上升0m d、电梯没有动。
4．体育课上，教师对初三男生进行了引体向上的测验，能做到7个为达标，超过的次数用正数表示，不足的次数用负数表示，其中8名男生的成绩如下表：这8名男生一共做了＿＿＿个引体向上，达标率为＿＿＿
知识要点二：有理数的概念及其分类】
整数和分数统称为有理数．
例题】1．在数、﹣3中，正有理数有。
非负数有非正整数有。
2．下列判断中，正确的是（ ）
a、正整数和负整数统称为整数 b、整数和分数统称为有理数。
c、正数和负数统称为有理数d、整数、分数和零统称为有理数。
课堂学习检测】
一、判断题(正确的在括号内画“√”错误的画“×”
) 1．某仓库运出30吨货记作－30吨，则运进20吨货记作＋20吨．
) 2．节约4吨水与浪费4吨水是一对具有相反意义的量．
) 3．身高增长1.2cm和体重减轻1.2kg是一对具有相反意义的量．
) 4．在小学学过的数前面添上“－”号，得到的就是负数．
二、填空题。
1．用正数和负数表示下列具有相反意义的量．
1）某人从a地向东走10m，然后折回向西走13m，又折回向东走6m，则现在此人在a地的。
＿＿＿填“东”或“西”）方，距离a地＿＿＿米；
2）一艘潜艇所在的高度是﹣80m，一条鲨鱼在艇上方35m，则鲨鱼所在的高度是＿＿＿
2．学校在大桥东面9千米处，那么大桥在学校___面－9千米处．
3．如果以每月生产180个零件为准，超过的零件数记作正数，不足的零件数记作负数，那么1月生产160个零件记作___个，2月生产200个零件记作___个．
4．甲冷库的温度为－6℃，乙冷库的温度比甲冷库低5℃，则乙冷库的温度是___
5．__既不是正数，也不是负数；它___整数，__有理数(填“是”或“不是”)．
6．整数可以看作分母为1的___有理数包括。
7．把下列各数填在相应的大括号内：
正数集合。负数集合。
非负数集合。
有理数集合。
8．判断下列各数，并把它们填写在大括号里．
1）整数集合。
（2）分数集合。
（3）正有理数集合。
（4）非负数集合。
综合运用】一、填空题。
1．若把公元2024年记作＋2008，那么－2024年表示___
2．潜水艇上浮为正，下潜为负．若潜水艇原先在距水面80米深处，后来两次活动记录的情况是。
10米，＋20米，则现在潜水艇在距水面___米的深处．
3．是正数而不是整数的有理数是。
4．是整数而不是正数的有理数是。
5．既不是正数，也不是负数的有理数是。
6．既不是真分数，也不是零的有理数是。
7．在下列数中： 11.11111，，95.527，0，＋2004，－2，1.12122122212222，
非负有理数有。
8．一种零件的长度在图纸上是(10±0.05)毫米，表示这种零件的标准尺寸是10毫米，加工要求最大不超过___毫米，最小不小于___毫米．
二、判断题(正确的在括号里画“√”错误的画“×”
) 1．带有正号的数是正数，带有负号的数是负数．
) 2．有理数是正数和小数的统称．
) 3．有最小的正整数，但没有最小的正有理数．
) 4．非负数一定是正数．
) 5．是负分数．
三、选择题。
1．下列说法中，不正确的是（ ）
a、零是有理数 b、零是整数 c、零是最小的数 d、零不是负数。
a)是负数，不是分数 (b)不是分数，是有理数。
c)是负数，也是分数 (d)是分数，不是有理数。
3．下面说法中正确的是( )
a)正整数和负整数统称整数 (b)分数不包括整数。
c)正分数，负分数，负整数统称有理数 (d)正整数和正分数统称正有理数。
4．下列说法正确的是（ ）
a、整数包括正整数、负整数 b、分数包括正分数、负分数。
c、有理数不是正数就是负数 d、有理数包括整数与分数。
5．一批螺帽产品的内径要求可以有±0.02 mm的误差，现抽查5个样品，超过规定的毫米值记为正数，不足值记为负数，检查结果如表．则合乎要求的产品数量为( )
a)1个 (b)2个 (c)3个 (d)5个。
2.2 数轴。
知识要点三：数轴】
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）．
原点右边的点表示正数，原点左边的点表示负数，原点表示有理数0．
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示．（反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数）
例题】1．下列各图中，表示数轴的是（ ）
ab、cd、
2．在下图中，表示数轴正确的是（ ）
3．在数轴上，点a表示﹣1，与点a相距3个单位长度的点b所表示的数为。
4．有一只小蚂蚁以每秒爬行2个单位长度的速度从数轴上表示－4的点a出发向右爬行3秒到达b点，则b点表示的数是（ ）
a、2 b、－4 c、6 d、－6
5．数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2007厘米的线段ab，则线段ab盖住的整点的个数是。
6．点a在数轴上距离原点为3个单位，且位于原点左侧，若将a向右移动4个单位，再向左移动1个单位，这时a点表示的数是。
知识要点四：相反数】
只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
零的相反数是零．
从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称， 如果与互为相反数，则有，，反之亦成立．
注意：﹣a只表示a的相反数，不一定是负数。
例题】1．﹣的相反数是＿＿＿2与＿＿＿互为相反数，＿＿的相反数是它本身，互为相反数的两个数，在数轴上分居在＿＿＿的两侧，且到原点的＿＿＿相等．
2．在数轴上的点a表示有理数﹣5，则距离点a三个单位的点b表示的有理数为＿＿＿若把a向左平移3个单位，则a的相反数是＿＿＿
3．已知7﹣a的相反数是﹣3，则a=＿＿若a=﹣a，则a=＿＿
知识要点五：比较有理数的大小】
正数大于0和一切负数，0大于一切负数，小于一切正数；
数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大；
例题】比较下列各组数的大小：
知识要点六：数形结合的思想】
确定数轴上两点之间的距离：
设数轴上a、b两点表示的数为a、b，则a、b两点之间的距离为：|ab|=|a﹣b|或|b﹣a|.
例题】回答下列问题：
1） 数轴上表示3和6两点之间的距离是＿＿＿
2） 数轴上表示﹣3和﹣6两点之间的距离是＿＿＿
3） 数轴上表示﹣4和2两点之间的距离是＿＿＿
4） 当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是＿＿＿
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