初中数学竞赛辅导资料（16）
整数的一种分类。
甲内容提要。
1． 余数的定义：在等式a＝mb＋r中，如果a、b是整数，m是正整数，r为小于m的非负整数，那么我们称r是a 除以m的余数。
即：在整数集合中被除数＝除数×商＋余数 (0≤余数《除数)
例如：13，0，－1，－9除以5的余数分别是3，0，4，1
2． 显然，整数除以正整数m ,它的余数只有m种。
例如整数除以2，余数只有0和1两种，除以3则余数有三种。
3． 整数的一种分类：按整数除以正整数m的余数，分为m类，称为按模m分类。例如：
m=2时，分为偶数、奇数两类，记作｛2k｝,｛2k－1｝ （k为整数）
m=3时，分为三类，记作｛3k｝,｛3k+1｝,｛3k+2｝.
或｛3k｝,｛3k+1｝，｛3k－1｝其中｛3k－1｝表示除以3余2。
m=5时，分为五类，｛5k｝.｛5k+1｝,｛5k+2｝,｛5k+3｝,｛5k+4｝
或｛5k｝,｛5k±1｝,｛5k±2｝， 其中5k－2表示除以5余3。
4． 余数的性质：整数按某个模m分类，它的余数有可加，可乘，可乘方的运算规律。
举例如下：（3k1+1）+(3k2+1)=3(k1+k2)+2 （余数1＋1＝2）
②（4k1+1）(4k2+3)=4(4k1k2+3k1+k2)+3 （余数1×3＝3）
（5k±2）2＝25k2±20k+4=5(5k2±4k)+4 （余数22＝4）
以上等式可叙述为：
1 两个整数除以3都余1，则它们的和除以3必余2。
2 两个整数除以4，分别余1和3，则它们的积除以4必余3。
3 如果整数除以5，余数是2或3，那么它的平方数除以5，余数必是。
4或9。余数的乘方，包括一切正整数次幂。
如：∵17除以5余2 ∴176除以5的余数是4 （26＝64）
5． 运用整数分类解题时，它的关鍵是正确选用模m。
乙例题。例1. 今天是星期日，99天后是星期几？
分析：一星期是7天，选用模m=7, 求99除以7的余数。
解：99＝（7＋2）9，它的余数与29的余数相同，29＝（23）3＝83＝（7＋1）3它的余数与13相同，99天后是星期一。
又解：设｛a｝表示a除以7的余数，99｝＝｛7＋2）9｝＝｛29｝＝｛83｝＝｛7＋1）3｝＝｛13｝＝1
例2. 设n为正整数，求43 n+1 除以9的余数。
分析：设法把幂的底数化为9k＋r形式。
解：43 n+1＝4×43n=4×(43)n=4×（64）n＝4×(9×7＋1)n
∵(9×7＋1)n除以9的余数是1n=1
43 n+1 除以9的余数是4。
例3. 求证三个连续整数的立方和是9的倍数。
解：设三个连续整数为n－1,n,n+1
m=(n－1)3+n3+(n+1)3=3n(n2+2)
把整数n按模3，分为三类讨论。
当n=3k （k为整数，下同）时，m＝3×3k［(3k)2+2］=9k (9k2+2)
当n=3k+1时， m＝3（3k+1）［(3k+1)2+2］＝3（3k+1）(9k2+6k+3)
9(3k+1)(3k2+2k+1)
当n=3k+2时， m＝3（3k+2）［(3k+2)2+2］＝3（3k+2）(9k2+12k+6)
9(3k+2)(3k2+4k+2)
对任意整数n，m都是9的倍数。
例4. 求证：方程x2－3y2=17没有整数解。
证明：设整数x按模3分类讨论，当x＝3k时， （3k）2－3y2=17, 3(3k2－y2)=17
当x=3k±1时， （3k±1）2－3y2=17 3(3k2±2k－y2)=16
由①②左边的整数是3的倍数，而右边的17和16都不是3的倍数，∴上述等式都不能成立，因此，方程x2－3y2=17没有整数解。
例5. 求证：不论n取什么整数值，n2+n+1都不能被5整除。
证明：把n按模5分类讨论，
当n=5k时，n2+n+1=(5k)2+5k+1=5(5k2+k)+1
当n=5k±1 时，n2+n+1＝（5k±1）2＋5k±1＋1
25k2±10k+1+5k±1＋1＝5（5k2±2k＋k）＋2±1
当n=5k±2时，n2+n+1＝（5k±2）2＋5k±2＋1
25k2±20k+4+5k±2＋1＝5（5k2±4k+k+1）±2
综上所述，不论n取什么整数值，n2+n+1都不能被5整除。
又证：n2+n+1＝n(n+1)+1
∵n(n+1)是两个连续整数的积，其个位数只能是0，2，6
∴n2+n+1的个位数只能是1，3，7，故都不能被5整除。
丙练习161. 已知a=3k+1, b=3k+2, c=3k (a,b,c,k都是整数)
填写表中各数除以3的余数。
2. 376÷7的余数是＿＿＿
3．今天是星期日，第2天是星期一，那么第2111天是星期几？
4．已知m,n都是正整数，求证：3nm(n2+2)
5. 已知a是奇数但不是3的倍数，求证：24（a2－1）
提示a可表示为除以6余1或5，即a=6k±1）
6． 把正整数按表中的规律排下去，问100
将排在哪一列？答：＿＿
7． 已知正整数n不是4的倍数。
求证：1n＋2n＋3n＋4n是10的倍数。
8. 任给5个整数，必能从中找到3个，其和能被10整除，这是为什么？
9对任意两个整数，它们的和、差、积中。
至少有一个是3的倍数，试说明理由。
10．任意10个整数中，必有两个，它们的差是9的倍数。这是为什么？如果改为任意n＋1个，则必有两个，它们的差是n的倍数，试说明理由。
11.证明 x2+y2－8z=6没有整数解 （2023年德化县初中数学竞赛题）
12.从1开始的正整数依次写下去，直到第198位为止即。
那么这个数用9除之，余数是＿＿＿2023年全国初中数学联赛题）
七年级 下 数学竞赛辅导 3
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