初中数学竞赛辅导资料（12）
用交集解题。
甲内容提要。
1． 某种对象的全体组成一个集合。组成集合的各个对象叫这个集合的元素。例如6的正约数集合记作｛6的正约数｝＝｛1，2，3，6｝，它有4个元素1，2，3，6；除以3余1的正整数集合是个无限集，记作｛除以3余1的正整数｝＝｛1，4，7，10……｝它的个元素有无数多个。
2． 由两个集合的所有公共元素组成的一个集合，叫做这两个集合的交集。
例如6的正约数集合a＝｛1，2，3，6｝，10的正约数集合b＝｛1，2，5，10｝，6与10的公约数集合c＝｛1，2｝，集合c是集合a和集合b的交集。
3． 几个集合的交集可用图形形象地表示，右图中左边的椭圆表示正数集合，右边的椭圆表示整数集合，中间两个椭圆。
的公共部分，是它们的交集――正整数集。
不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集。
例如不等式组解的集合就是。
不等式（1）的解集x>3和不等式（2）的解集x＞2的交集，x>3
如数轴所示。
4．一类问题，它的答案要同时符合几个条件，一般可用交集来解答。把符合每个条件的所有的解（即解的集合）分别求出来，它们的公共部分（即交集）就是所求的答案。
有时可以先求出其中的一个（一般是元素最多）的解集，再按其他条件逐一筛选、剔除，求得答案。（如例2）
乙例题。例1.一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个自然数的最小值。
解：除以3余2的自然数集合a＝｛2，5，8，11，14，17，20，23，26，……
除以5余3的自然数集b＝｛3，8，13，18，23，28，……
除以7余2自然数集合c＝｛2，9，16，23，30，……
集合a、b、c的公共元素的最小值23就是所求的自然数。
例2. 有两个二位的质数，它们的差等于6，并且平方数的个位数字相同，求这两个数。
解： 二位的质数共21个，它们的个位数字只有1，3，7，9，即符合条件的质数它们的个位数的集合是｛1，3，7，9｝；
其中差等于6的有：1和7；3和9；13和7，三组；
平方数的个位数字相同的只有3和7；1和9二组。
同时符合三个条件的个位数字是3和7这一组。
故所求质数是：23，17； 43，37； 53，47； 73，67共四组。
例3. 数学兴趣小组中订阅a种刊物的有28人，订阅b种刊物的有21人，其中6人两种都订，只有一人两种都没有订，问只订a种、只订b种的各几人？数学兴趣小组共有几人？
解：如图左、右两椭圆分别表示订阅a种、b种刊物的人数集合，则两圆重叠部分就是它们的交集（a、b两种都订的人数集合）。
只订a种刊物的人数是28－6＝22人；
只订b刊物的人数是21－6＝15人；
小组总人数是22＋15＋6＋1＝44人。
设n，n（a），n（b），n（ab），分别表示总人数，订a种、b种、ab两种、都不订的人数，则得。
公式一］n＝+ n（a）+n（b）－n（ab）。
例4. 在40名同学中调查，会玩乒乓球的有24人，篮球有18人，排球有10人，同时会玩乒乓球和篮球的有6人，同时会玩乒乓球和排球的有4人，三种球都会的只有1人，问：有多少人①只会打乒乓球 ②同时会打篮球和排球 ③只会打排球？
解：仿公式一，得［公式二］：
n＝+ n（a）+n（b）+n(c)－n（ab）－n（ac）－n(bc)+n(abc)
只会打乒乓球的是24－6－4＋1＝15（人）
求n（bc）可用公式二：
40＝24＋18＋10－6－4－n（bc）＋1
n（bc）＝3， 即同时会打篮球和排球的是3人。
只会打排球的是10－3－1＝6（人）
例5. 十进制中，六位数能被33整除，求x和y的值。
解：∵0≤x，y≤9， ∴0≤x+y≤18， －9≤x－y≤9，x+y>x－y
33＝3×11，1＋9＋x+y+8＋7的和是3的倍数，故x+y=2,5,8,11,14,17
1+x+8)－(9+y+7)是11的倍数， 故x－y=－4，7
x+y和x－y是同奇数或同偶数，∴它们的交集是下列四个方程组的解：
解得。x=12不合题意舍去）答：x=2,y=6或x=5,y=9或x=9,y=2
丙练习121． 负数集合与分数集合的交集是＿＿＿
2． 等腰直角三角形集合是＿＿＿三角形集合与＿＿＿三角形集合的交集。
3． 12的正约数集合a＝｛ 30的正约数集合b＝｛
12和30的公约数集合c＝｛ 集合c是集合a和集合b的＿＿
4． 解下列不等式组并把解集（不是空集）表示在数轴上：
5． 某数除以3余1，除以5余1，除以7余2，求某数的最小值。
6． 九张纸各写着1到9中的一个自然数（不重复），甲拿的两张数字和是10，乙拿的两张数字差是1，丙拿的两张数字积是24，丁拿的两张数字商是3，问剩下的一张是多少？
7． 求符合如下三条件的两位数：①能被3整除②它的平方、立方的个位数都不变③两个数位上的数字积的个位数与原两位数的个位数字相同。
8． 据30名学生统计，会打篮球的有22人，其中5人还会打排球；有2人两种球都不会打。那么①会打排球有几人？②只会打排球是几人？
9． 100名学生代表选举学生会正付主席，对侯选人a和b进行表决，赞成a的有52票，赞成b的有60票，其中a、b都赞成的有36人，问对a、b都不赞成的有几人？
10. 数、理、化三科竞赛，参加人数按单科统计，数学24人，物理18人，化学10人；按两科统计，参加数理、数化、理化分别是人，没有三科都参加的人。求参赛的总人数，只参加数学科的人数。
（本题如果改为有2人三科都参加呢？）
12. 十进制中，六位数能被21整除，求x,y的值（仿例5）
七年级 下 数学竞赛辅导 7
初中数学竞赛辅导资料 16 整数的一种分类。甲内容提要。1 余数的定义 在等式a mb r中，如果a b是整数，m是正整数，r为小于m的非负整数，那么我们称r是a 除以m的余数。即 在整数集合中被除数 除数 商 余数 0 余数 除数 例如 13，0，1，9除以5的余数分别是3，0，4，1 2 显然，...
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