一、方阵问题。
学法指导 日常生活中，往往需要把人或物摆成正方形的形式，如正方形的体操队列，正方形花坛周围摆花盆，插旗子，还有正方形棋盘上摆棋子等问题，在数学上人们通常称这类问题为方阵问题。解方阵问题时，应注意观察方阵中行列的排列规律，找出巧妙的解法。
例1 军训的学生进行队列表演，排成了一个7行7列的正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉多少人？还剩下多少人？
分析与解答右图表示的是一个4行4
列的实心正方形队列，从图中可以看出。
正方形队列的特点：
1)正方形队列每行、每列的人数相等，因此，总人数 = 每行人数×每行人数；
2)去掉横竖各一排时，有且只有1人是同时属于被减去的一行和一列的，如图中a点所示。
因此去掉的总人数 ＝ 原每行人数×2－1
或去掉的总人数＝减少后每行人数×2＋1
本题中所求，即去掉的人数＝7×2－1＝13（人）
或去掉的人数＝（7－1）×2＋1＝13（人）
还剩的人数＝（7－1）×（7－1）＝36（人）
或还剩的人数＝7×7－13＝49－13＝36（人）
答：若去掉一行一列，需去掉13人，还剩36人。
例2 光明小学四年级原准备排成一个正方形队列参加广播操表演，由于服装不够，只好横竖各减少一排，这样共需去掉27人，问四年级原来准备多少人参加表演？
分析与解答此题刚好是例1的逆问题，根据正方形队列的特点，可知，原每行人数＝（去掉一行一列的人数＋1）÷2
即：原来每行人数：
27＋1）÷2＝14（人）
原来准备参加表演的人数：
14×14＝196（人）
答：四年级原准备196人参加表演。
例3一队学生站成20行20列方阵，去掉4行4列，要减少多少人？
分析与解答一把去掉4行4列转化为一行一列的去掉，就可利用例1的结论：
去掉一行一列的总人数＝原每行人数×2－1
反复利用4次这个公式，只要注意“原每行人数”的变化，即可列式为：
去掉4行4列的总人数。
人)答：去掉4行4列，要减少144人。
分析与解答二。
见右图，是一个7行7列的方阵，若去掉4行4列后，仍剩下一个小正方形方阵，因此去掉4行4列的总人数＝原正方形方阵人数－剩下的小正方形方阵人数，且小正方形方阵每边人数＝原正方形方阵每边人数－4，即。
去掉的总人数＝20×20－(20－4)(20－4)
144(人)
答：去掉144人。
前三个例题涉及的都是实心方阵问题，下面我们看一些空心方阵问题。
例4 正方形舞厅四周均匀地装彩灯，如果四个角都装一盏，且每边装12盏，那么这个舞厅四周共装彩灯多少盏？
分析与解答一从下左图中可以看出，角上的四盏灯各属于两行，所以彩灯总数应为：
12×4－4＝44(盏)
分析与解答二按上右图可以把彩灯分成相等的四部分，因此彩灯总数为：
12－1)×4＝44(盏)
答：这个舞厅四周共装彩灯44盏。
例5 游行队伍中，手持鲜花的少先队员在一辆彩车的四周围成每边三层的方阵，最外边一层每边12人，问彩车周围少先队员共有多少人？
分析与解答一右图为一个两层空心方阵的示意图，不难发现，有如下特点：
1) 外层每边点的个数都比相临内层的每边点的个数多2；
2) 每相邻两层之间，点的总数相差8个最外层队员的总数：
12×4－4＝44(人)
三层共有队员的总数：
108 (人)
分析与解答二见右图，可分成相等的四部分，每一部分的人数：
(12－3)×3＝9×3＝27(人)
三层共有队员数：
27×4＝108(人)
答：彩车周围的少先队员共有108人。
这个题还有别的解法，请同学们自己试着做一下。
例6 小明用围棋子摆了一个五层的空心方阵，共用了200个棋子，问最外层每边有多少个棋子？
分析与解答一利用相邻两层之间，每层的总数相差8的特点，可知最外层共有棋子数：
200＋8＋8×2＋8×3＋8×4)÷5＝56(个)
最外层每边的棋子数：
56÷4＋1＝15(个)
分析与解答二见右图，把棋子分成想的相等的四部分。
每一部分的棋子数：
200÷4＝50(个)
每一部分每排的棋子数：
50÷5＝10(个)
最外层每边的棋子数：
10＋5＝15(个)
综合列式：200÷4÷5＋5＝15(个)
答：最外面一层每边有棋子15个。
练一练。1.运动会入场式要求运动员排成一个9行9列的正方形方阵，如果去掉2行2列，要减少（ ）名运动员。
2.参加军训的学生进行队列表演，排成了一个正方形队列，如果这个队列横竖各增加一排，还需补充39人，参加表演的学生有（ ）人。
3.在一块正方形的场地四周插上彩旗，四个角上都插1面，每边插了32面，这块场地四周共需插（ ）面彩旗。
4.小军用棋子摆成了一个三层空心方阵，最外面一层每边有棋子14个，小军摆这个方阵共用了（ ）个棋子。
5.街心雕像四周用花盆摆成了一个四层的正方形花坛，共用了576盒花，最外层每边有（ ）花盆。
6.128名学生原计划在彩车周围排成一个每边2层的方阵，后来决定在方阵外面再增加一层成为三层方阵，需要增加（ ）名学生。
二、鸡兔同笼与假设。
学法指导。1、看一看：
2元 2元 2元 2元 2元 2元。
5元 5元 5元。
2元币和5元币有（ ）张，共（ ）元。如果错把2元币全部看成5元币，每张币多算了（ ）元，6元币多算了（ ）元。
2、填一填：
2元币和5元币有10张，共32元，假设把2元币全部看成5元币，一共是（ ）元，比原来多（ ）元，这是因为一张2元币看成5元币多算了3元，（ 张2元币多算的钱数就是比原来多的钱数。
3、想一想：
5元 5元 5元 5元 5元 5元
5元 5元 5元
图中5元币9张，2元币0张，5元币比2元币多45张。
5元 5元 5元 5元 5元 5元
5元 5元 5元
如果将一张5元币换成2元币，5元币减少5元，2元币增加2元，相差2＋5＝7元，5元币比2元币多（ ）元。
5元 5元 5元 5元 5元 5元
5元 5元 5元
如果将两张5元币换成2元币，5元币减少（ ）元，2元币增加（ ）元，5元币比2元币多（ ）元。
当5元币比2元币总数多3元时，有（ ）张5元币换成了2元币，算式是（ ）
例1 停车场共停24辆车，其中有4个轮子的汽车和3个轮子的摩托车。这些车共有86个轮子。求汽车和摩托车各有多少辆？
分析与解答假设这24辆车都是3个轮子，那么一共有3×24＝72个轮子。比实际轮子数少了86－72＝14个轮子。为什么会少了14个轮子呢？
因为我们把4个轮子的汽车假设成3个轮子来计算了。每辆汽车少算了（4－3）个轮子。14÷1＝14说明这24辆车中有14辆是汽车。
有24－14＝10辆摩托车。
86－3×24）÷（4－3）＝14（辆）
24－14＝10（辆）
答：汽车有14辆，摩托车有10辆。
想一想：假设这24辆都是4个轮子的，那该怎样解答呢？
例2 松鼠妈妈采松籽，晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个。它一连采了112个松籽，平均每天采14个。问这几天中有几天下雨？
分析与解答由112÷14＝8（天）可以知道，松鼠妈妈一共采了8天松籽。假设8天都是晴天，应该采20×8＝160（个）。比实际采到的多160－112＝48（个）。
怎么会多算出48个呢？因为这8天中有雨天，每个晴天比每个雨天多采20－12＝8（个）。48里面有6个8，所以有6天是雨天。
112÷14＝8（天）
20×8－112）÷（20－12）＝6（天）
答：这几天中有6天下雨。
也可以假设这8天都是雨天，请你用这样的假设再算一算有几天下雨？
例3 数学竞赛抢答题共10道题，规定答对一题得15分，答错一题倒扣10分（不答按答错计算）。小敏回答了所有的问题，结果共得100分，问：答对和答错各几题？
分析与解答假设小敏10道题都答对了，应该得15×10＝150（分）。比实际分多算了150－100＝50分。因为这10道题中有做错的题，每做错一题，不仅不能得15分，而且还倒扣10分。
也就是说，错一题就减少15＋10＝25（分）。50÷25＝2，所以，小敏答错了2道题，答对了8道题。
15×10－100）÷（15+10）＝2（道）
10－2＝8（道）
答：小敏答对8道题，答错2道题。
例4 某农民养鸡兔若干只。已知鸡比兔多13只，鸡的脚比兔的脚多16只。问鸡和免各有多少只？
分析与解答假设兔子也只有2只脚，那么，鸡比兔多13只，鸡的脚就应该比兔的脚多2×13＝26（只）。实际上鸡的脚只比兔的脚多16只，怎么会多出了26－16＝10（只）脚呢？因为兔子有4只脚，每只兔子少算了2只脚。
10里面有5个2，所以有5只兔子。有5+13＝18只鸡。
2×13－16）÷（4－2）＝5（只）
5+13＝18（只）
答：鸡有18只，兔有5只。
例5 五（1）班50名同学为灾区人民捐款。平均每个女同学捐8元，每个男同学捐5元。已知全班女同学共比男同学多捐101元，求这个班男、女同学各多少人？
分析与解答假设五（1）班男、女生各25人。那么同学共捐款8×25＝200（元）；男同学共捐款5×25＝125（元）。女同学比男同学多捐200－125＝75元，比实际少算了101－75＝26（元）。
这说明女同学人数要比25人多，每减少一个男同学后增加一个女同学，女同学的捐款数就会增加8＋5＝13（元）。26元里有2个13元，所以，要减少2个男生，增加2个女生，即男同学25－2＝23（人），女同学25+2＝27（人）。
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四年级奥数目录。1 找规律 观察力和计算能力的一个结合 数列中的规律。图形中的规律。二 数字谜 运用简单的数字组成不同或相同的位数，使式子合理 横式字谜。竖式字谜。三 定义新运算 它的符号不同于课本上明确定义或已经约定的符号，先求出表示定义规则的一般表达式，方可进行运算。四 鸡兔同笼 根据现实的例子...
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第一课时等量代换。第一站 倒酒。例1 群宴时，曹丞相让曹冲给大家倒酒。于是，曹冲就把720毫升酒倒入6个小杯和1个大杯，正好倒满。大杯的容量是小杯的3倍，小杯和大杯各可以装多少毫升酒？思路点拨 一个大杯的容量可以换成3个小杯，把720毫升酒倒入6个小杯和1个大杯 就可以替换成 把720毫升酒倒入 个...
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