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全国初中（初二）数学竞赛辅导。
第二十二讲面积问题与面积方法。
几何学的产生，源于人们测量土地面积的需要．面积不仅是几何学研究的一个重要内容，而且也是用来研究几何学的一个有力工具．
下面，我们把常用的一些面积公式和定理列举如下．
(1)三角形的面积。
(i)三角形的面积公式。
b＋c)是半周长，r是△abc的内切圆半径．
(ii)等底等高的两个三角形面积相等．
(iii)两个等底三角形的面积之比等于高之比；两个等高三角形的面积之比等于底边之比；两个三角形面积之比等于底、高乘积之比．
(iv)相似三角形的面积之比等于相似比的平方．
(2)梯形的面积。
梯形的面积等于上、下底之和与高的乘积的一半．
(3)扇形面积。
其中r为半径，l为弧长，θ为弧l所对的圆心角的度数，α是弧度数．
1．有关图形面积的计算和证明。
解因为cd⊥ab，ac=cb，且△abd内接于半圆，由此可得
所以，阴影部分aefbda的面积是。
例2 已知凸四边形abcd的对角线ac，bd相交于点o，且△abc，△acd，△abd的面积分别为s1=5，s2=10，s3=6．求△abo的面积(图2-128)．
解首先，我们证明△abc与△acd的面积比等于bo与do的比．过b，d分别作ac的垂线，垂足为e，f．于是rt△beo
由题设。设s△aob=s，则。
所以。例3 如图2-129，ad，be，cf交于△abc内的一点p，并将△abc分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图中给出．求△abc的面积．
分析如果能把未知的两个小三角形的面积求出，那么△abc的面积即可得知．根据例1，这两个面积是不难求出的．
解设未知的两个小三角形的面积为x和y，则。即。又。
即。①÷②得。
再由②得x=56．因此。
s△abc＝84＋70＋56＋35＋40＋30=315．
例4 如图2-130，通过△abc内部一点q引平行于三角形三边的直线，这些直线分三角形为六个部分，已知三个平形四边形部分的面积为s1，s2，s3，求△abc的面积．
解为方便起见，设。
s△qdg=s′1，s△qie=s′2，s△qfh=s′3，则。
所以。同理可得。
从①，②中可以解得。
所以。例5 在一个面积为1的正方形中构造一个如图2-131所示的正方形：将单位正方形的每一条边n等分，然后将每个顶点和它相对的顶点最接近的分点连接起来．如果小正方形(图中阴影部分)的面积恰。
解如图2-131，过f作bc的平行线交bg于h，则∠ghf=∠ced，∠fgh=∠dce=90°，故。
n2-n-90=0，所以n=10．
2．利用面积解题。
有的平面几何问题，虽然没有直接涉及到面积，然而若灵活地运用面积知识去解答，往往会出奇制胜，事半功倍．
例6 在△abc内部或边界上任取一点p，记p到三边a，b，c的距离依次为x，y，z．求证：ax+by+cz是一个常数．
证如图2-132，连结pa， pb，pc，把△abc分成三个小三角形，则。
s△abc＝s△pab＋s△pcb＋s△pca
所以 ax＋by＋cz=2s△abc，即ax＋by＋cz为常数．
说明若△abc为等边三角形，则。
此即正三角形内一点到三边的距离和为常数，此常数是正三角形的高．
例7 如图2-133，设p是△abc内任一点，ad，be，cf是过点p且分别交边bc，ca，ab于d，e，f．求证：
证首先，同例2类似，容易证明。
说明本例的结论很重要，在处理三角形内三条线交于一点的问题时，常常可以用这一结论去解决．
例8 如图2-134，已知d，e，f分别是锐角三角形abc的三边bc，ca，ab上的点，且ad，be，cf相交于点p，ap=bp=cp=6，设pd=x，pe=y，pf=z，若xy＋yz+zx=28，求xyz的值．
解由上题知。
去分母整理得。
3(xy+yz＋zx)＋36(x+y＋z)＋324
=xyz+6(xy＋yz＋zx)+36(x+y＋z)＋216，所以 xyz=108-3(xy＋yz＋zx)=24．
练习二十二。
1．填空：(2)一个三角形的三边长都是整数，周长为8，则这个三角形的面积是___
(3)四边形abcd中，∠a=30°，∠b=∠d=90°，ab=ad，ac=1，则四边形abcd的面积是___
(4)梯形abcd中，ab∥cd，对角线ac与bd相交于o．若s△abo=p2，s△cdo=q2，则sabcd=__
△abc=40．若be，cd相交于f，则s△def=__
2．e，f分别在矩形abcd的边bc和cd上，若△cef，△abe，△adf的面积分别是3，4，5，求△aef的面积．
3．已知点p，q，r分别在△abc的边ab，bc，ca上，且bp=pq=qr=rc=1，求△abc的面积的最大值．
4．在凸五边形abcde中，s△abc=s△bcd=s△cde=s△dea=s△eab=1，ce与ad相交于f，求s△cfd．
5．在直角三角形abc中，∠a=90°，ad，ae分别是高和角平分线，且△abe，△aed的面积分别为s1=30，s2=6，求△adc的面积s．
6．设p是△abc内一点，ad，be，cf过点p并且交边bc，ca，ab于点d，e，f．求证：
7．已知△abc中，de∥bc交ab于d，交ac于e，am为bc边上的中线，与de相交于n，求证：dn=ne．
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