八年级数学面积问题与面积方法复习题

发布 2023-01-11 17:30:28 阅读 2614

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全国初中(初二)数学竞赛辅导。

第二十二讲面积问题与面积方法。

几何学的产生,源于人们测量土地面积的需要.面积不仅是几何学研究的一个重要内容,而且也是用来研究几何学的一个有力工具.

下面,我们把常用的一些面积公式和定理列举如下.

(1)三角形的面积。

(i)三角形的面积公式。

b+c)是半周长,r是△abc的内切圆半径.

(ii)等底等高的两个三角形面积相等.

(iii)两个等底三角形的面积之比等于高之比;两个等高三角形的面积之比等于底边之比;两个三角形面积之比等于底、高乘积之比.

(iv)相似三角形的面积之比等于相似比的平方.

(2)梯形的面积。

梯形的面积等于上、下底之和与高的乘积的一半.

(3)扇形面积。

其中r为半径,l为弧长,θ为弧l所对的圆心角的度数,α是弧度数.

1.有关图形面积的计算和证明。

解因为cd⊥ab,ac=cb,且△abd内接于半圆,由此可得

所以,阴影部分aefbda的面积是。

例2 已知凸四边形abcd的对角线ac,bd相交于点o,且△abc,△acd,△abd的面积分别为s1=5,s2=10,s3=6.求△abo的面积(图2-128).

解首先,我们证明△abc与△acd的面积比等于bo与do的比.过b,d分别作ac的垂线,垂足为e,f.于是rt△beo

由题设。设s△aob=s,则。

所以。例3 如图2-129,ad,be,cf交于△abc内的一点p,并将△abc分成六个小三角形,其中四个小三角形的面积已在图中给出.求△abc的面积.

分析如果能把未知的两个小三角形的面积求出,那么△abc的面积即可得知.根据例1,这两个面积是不难求出的.

解设未知的两个小三角形的面积为x和y,则。即。又。

即。①÷②得。

再由②得x=56.因此。

s△abc=84+70+56+35+40+30=315.

例4 如图2-130,通过△abc内部一点q引平行于三角形三边的直线,这些直线分三角形为六个部分,已知三个平形四边形部分的面积为s1,s2,s3,求△abc的面积.

解为方便起见,设。

s△qdg=s′1,s△qie=s′2,s△qfh=s′3,则。

所以。同理可得。

从①,②中可以解得。

所以。例5 在一个面积为1的正方形中构造一个如图2-131所示的正方形:将单位正方形的每一条边n等分,然后将每个顶点和它相对的顶点最接近的分点连接起来.如果小正方形(图中阴影部分)的面积恰。

解如图2-131,过f作bc的平行线交bg于h,则∠ghf=∠ced,∠fgh=∠dce=90°,故。

n2-n-90=0,所以n=10.

2.利用面积解题。

有的平面几何问题,虽然没有直接涉及到面积,然而若灵活地运用面积知识去解答,往往会出奇制胜,事半功倍.

例6 在△abc内部或边界上任取一点p,记p到三边a,b,c的距离依次为x,y,z.求证:ax+by+cz是一个常数.

证如图2-132,连结pa, pb,pc,把△abc分成三个小三角形,则。

s△abc=s△pab+s△pcb+s△pca

所以 ax+by+cz=2s△abc,即ax+by+cz为常数.

说明若△abc为等边三角形,则。

此即正三角形内一点到三边的距离和为常数,此常数是正三角形的高.

例7 如图2-133,设p是△abc内任一点,ad,be,cf是过点p且分别交边bc,ca,ab于d,e,f.求证:

证首先,同例2类似,容易证明。

说明本例的结论很重要,在处理三角形内三条线交于一点的问题时,常常可以用这一结论去解决.

例8 如图2-134,已知d,e,f分别是锐角三角形abc的三边bc,ca,ab上的点,且ad,be,cf相交于点p,ap=bp=cp=6,设pd=x,pe=y,pf=z,若xy+yz+zx=28,求xyz的值.

解由上题知。

去分母整理得。

3(xy+yz+zx)+36(x+y+z)+324

=xyz+6(xy+yz+zx)+36(x+y+z)+216,所以 xyz=108-3(xy+yz+zx)=24.

练习二十二。

1.填空:(2)一个三角形的三边长都是整数,周长为8,则这个三角形的面积是___

(3)四边形abcd中,∠a=30°,∠b=∠d=90°,ab=ad,ac=1,则四边形abcd的面积是___

(4)梯形abcd中,ab∥cd,对角线ac与bd相交于o.若s△abo=p2,s△cdo=q2,则sabcd=__

△abc=40.若be,cd相交于f,则s△def=__

2.e,f分别在矩形abcd的边bc和cd上,若△cef,△abe,△adf的面积分别是3,4,5,求△aef的面积.

3.已知点p,q,r分别在△abc的边ab,bc,ca上,且bp=pq=qr=rc=1,求△abc的面积的最大值.

4.在凸五边形abcde中,s△abc=s△bcd=s△cde=s△dea=s△eab=1,ce与ad相交于f,求s△cfd.

5.在直角三角形abc中,∠a=90°,ad,ae分别是高和角平分线,且△abe,△aed的面积分别为s1=30,s2=6,求△adc的面积s.

6.设p是△abc内一点,ad,be,cf过点p并且交边bc,ca,ab于点d,e,f.求证:

7.已知△abc中,de∥bc交ab于d,交ac于e,am为bc边上的中线,与de相交于n,求证:dn=ne.

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