数学人教版八年级上册拼图与因式分解

拼图与因式分解。

连云港市新海实验中学殷呈琪。

一、教材分析：

本实验是为人教版《义务教育教科书数学》八年级下册数学活动《拼图与因式分解》而设计的。二、学情分析：

拼图与因式分解》主要是为了让学生更深入地理解乘法公式与因式分解之间的关系，这部分是教学中的难点，学生难以真正理解，容易混淆，而且错误率极高。三、实验目的：

通过拼图活动，探索拼图与整式乘法、因式分解之间的内在联系，经历操作、观察、思考、交流等活动过程，体会数形结合的思想方法，发展几何直观。四、实验准备：

4人一组，剪刀，a型纸片（边长为a的正方形），b型纸片（边长为b的正方形），c型纸片（长为a、宽为b的长方形）若干张。

五、实验内容和步骤：温故知新：

同学们，我们之前学习了整式乘法和因式分解，你知道它们之间有什么关系吗？活动一：

请你利用1张a型纸片、1张b型纸片、2张c型纸片，拼成一个正方形。并且用不同的方法表示该正方形的面积，你能获得完全平方公式：a2+2ab+b2= (a+b)2吗？

请大家以小组为单位一起动手试试看。生可能会展示不同的拼图方法，师进行总结：

我们不难发现，两位同学的拼图方法虽然不一样，但是我们最终得到的都是一个边长为a+b的正方形，所以我们表示面积的方法是一样的，也可以得到这个完全平方公式。

设计意图】让学生借助拼接拼图的方式，经历因式分解方法的产生过程，真正明白因式分解的算理。活动一，鉴于学生在小学已经接触过类似活动，拼图起点低，能激活学生已有的认知经验，帮助学生理解“和的完全平方公式”。

活动二：分别选取a型纸片1张、b型纸片4张、c型纸片4张，拼成一个正方形。用不同的方法表示拼得的正方形的面积，你能得到怎样的一个等式？

生板演拼图过程，得到一个正方形，用两种不同的方法表示同一个图形的面积，从而得到相应的等式。

设计意图】借助拼图的共识，能找到相应的长方形，以此实现操作验证的本质初衷，深化对因式分解算理的再认识和数形结合的数学思想的感悟。

活动三：刚刚的两个问题老师都给出了a型、b型、c型纸片具体的张数，现在老师为难你们一下，不告诉你们具体的a型、b型、c型纸片相应的张数，你能尝试利用这三种类型的纸片拼成一个面积为2a2+5ab+3b2的长方形吗？

生通过讨论交流发现：a2的系数就是所需的a型纸片的张数，ab的系数就是所需的b型纸片的张数，b2的系数就是所需的c型纸片的张数。

设计意图】引导学生进行思考：当a型、b型、c型纸片相应的张数不知道的时候，要想拼成一个面积为2a2+5ab+3b2的长方形，我们需要a型、b型、c型纸片相应的张数各是多少？学生通过讨论交流自己能够探索出多项式各项的系数与相应类型纸片之间的关系。

活动四：分别选取a型纸片1张、b型纸片3张、c型纸片若干张，拼成一个长方形。用不同的方法表示拼得的长方形的面积，你能得到怎样的一个等式？

设计意图】活动五的设计是为了拓宽学生的思考空间，培养学生的发散性思维，实现学生的知识、经验、能力多方面发展。在活动过程中，注意让学生自己确定拼图的方向，学生自己提出问题又解决问题，为课堂的意外生成提供契机。活动五：

思考：你能拼一个面积为a2+4ab+b2的长方形吗？

如果不能，是否可以添加（或减少）纸片数量，使之拼成一个长方形？(添加或减少的纸片越少越好)

师总结：并不是所有的二次三项式都可以用拼图进行因式分解，它跟纸片的数量（即二次三项式的系数）有关。

设计意图】活动五的设计是为了让学生通过自己动手操作，从而感受到并不是所有的二次三项式都可以用拼图进行因式分解，它跟纸片的数量（即二次三项式的系数）有关。这比老师直接告诉学生这一结论更加直观，学生更容易接受和理解。活动六：

分别选取a型、b型、c型纸片若干张，你能拼成长为a，宽为a-b的长方形吗？

长为a+b，宽为a-b的长方形呢？在以上操作的基础上，你能得到什么公式？

设计意图】活动六设置的目的让学生经历“平方差公式”的诞生过程，思维指数有所提高。有的学生会需要综合进行叠合、裁剪、拼接才能完成，教师可以引导学生不运用裁剪，只通过叠合、拼接完成，引导学生关注数与形的相互转化。

归纳总结：师：今天这节课已经接近尾声了，通过这节课的学习，你有哪些收获呢？请大家一起谈一谈，说一说。【预设】

生1：我学会了用拼图的方法对多项式进行因式分解，非常有趣。生2：我知道了并不是所有的多项式都能进行因式分解，有的多项式是不能进行因式分解的。

生3：我更加深入地了解了数形结合的数学思想，知道今后遇到数的。

问题可以借助图形来解决，遇到图形问题也可以运用数的运算的方式进行探索。

思考题：分别选取a型、b型、c型纸片若干张，你能拼成长为a+2b，宽为a-b的长方形吗？