轴对称性质的应用。
教学目的：(1)加深学生对轴对称性质的理解，使他们学会利用这些性质去解决有关问题．
(2)通过对范例的分析、讲解，培养和训练学生解决问题的正确思想方法，达到启迪智慧，提高能力的目的．
教学难点：难点是实际问题的应用，关键是理解实际问题应用的理论依据，建立相应的数学模型。
教学过程：一、 复习提问。
师：轴对称图形的概念的内容是什么？
生：把一个图形沿着一某一条直线折过来，如果它能够与另一个图形重合，我们就着说这两个图形是轴对称。
师：轴对称图形具有什么性质？
生：轴对称图形具有两条性质：
(1)图形上对应点的连线被轴垂直平分；
(2)在轴对称下，对应线段或对应直线若相交，其交点必在对称轴上．
师：上节课，我们作一个图形的轴对称图形，正是依据了这一逆定理．
二、讲解新课。
师：今天，我们要应用上述性质来解决一个实际问题．
例1] 如图1，在铁路a的同侧有两个工厂a、b，要在路边建一个货场c，使a、b两厂到货场c的距离的和最小．问点c的位置如何选择？
师：同学们若仔细考虑一下，不难发现，例1实质上是一个求最短路线的实际问题，如果用数学语言叙述就是：已知直线a的同侧有a、b两点，现欲在a上作出一点c，使ac＋cb为最小．
请知道的同学举手，统计人数，以后分析一步都要求举次手，以便做比较）
(让学生准备白纸一张，在教师的启发下作出点c．)
师：对同学们来说，这是一个陌生的问题，可能会感到无从下手．现在，我们不妨这样来思考：
(教师取出在透明纸上事先画好的图2放在幻灯机上．)
师：若a、b是直线a两侧的已知点，现要在a上作出一点c，使ac＋cb为最小，怎么办呢？请同学们在白纸上作出点c．
生：这个问题容易解决，连结ab，设其交直线a于点c，则点c即为所求．
师：对，很好。若将纸片的下半部分沿直线a向上旋转一个角度，此时a、b两点不在同一个平面上了，如图3所示．试在直线a上求一点c，使ac＋cb为最小．譬如大家可设想有一小虫，在纸面上要从a点爬到b点，问它沿怎样路线爬才最近？
生：将纸片的下半面绕直线a旋转回图2的情况(即将原纸片展平)，在展平后的纸面上连结ab，设其交a于点c，则点c即为所求．
[将特殊情况推广到一般情况，也是数学中常用的思考问题的方法，让学生从初中起就受到这一训练，对提高他们的能力是大有好处的．]
师：若将图3中直线a下方的半个纸面继续沿直线a旋转，直至与上半面叠合(教师边讲边演示)，这时a、b即处于直线a的同侧了(图4)．
大家很容易看出图4实际上是图3的另一种特殊情况．显然，其解可用一般方法来求得．即：将含有点a的半个面，沿直线a旋转，使其变为图2的情形，再求解．用数学语言可描述如下：作点a关于直线a的对称点a＇，连结a＇b，设其交直线a于点c，则c点即为所求的点．
师：请同学们作出点c并具体地写出作法．
(学生作图略．)
师：由轴对称的性质1可以知道，对称轴是对应点连线的垂直平分线，即相互对称的点到轴上任一点的距离相等．因而，当考虑某一点和轴上的点之间的距离时，这个点可以用它的对称点来“代换”．如本例，当用点a来考虑问题感到困难时，便可用点a的轴对称点a＇来“代换”．由于“代换”后，点a＇和点a到轴上任一点的距离都相等，故ac=a＇c，因而原问题中对ac＋cb最小的要求，可变换成对a＇c＋cb最小的要求．由于a＇和b此时已处于a的两侧，因而变换后的新问题成了一个显而易见的问题，这就最终达到了我们解决原问题的目的．
下面，大家利用轴对称的这条性质来证明我们作出的点c确是符合要求的．
(学生证明略．)
例2 如图2是三个正方形拼成的一个矩形．
求证：∠1＋∠2＋∠3＝90°．
显然只需证∠1＋∠2＝45°，如何将∠1与∠2放在一起是本题的关键，我们以af为对称轴，作三个正方形的对称图形ab'c'd'e'f，如图2，连结ad'、d'e，易见∠2＝∠e'ed．因此只需证∠d'ea＝45°，事实上，由rt△ab'd'≌rt△d'e'e．可知 ad'＝d'e，且∠ad'b'＋∠ed'e'90°，从而有∠ad'e＝90°，即△ad'e是等腰直角三角形，因此∠d'ea＝45°成立．
在证明几何题目中，常常选择某直线为对称轴，把不是轴对称的图形，通过对称变换补添为轴对称图形，或将轴一侧的图形通过对称变换反射到另一侧，以实现条件相对集中，用这种思想能添出许多条有用的辅助线来，从而将不易入手的问题变得易于解决。
三、小结。这节课，我们重点讲解了轴对称性质的应用．轴对称的两条性质是利用轴对称解决问题的基础，应深刻理解和掌握．将一个图形变为它的对称图形，我们称为“对称变换”，利用这种“变换”，我们常常可以将原问题变得更加简单和直观．关于这方面的知识，我们在今后的学习中还会碰到．
四、作业。1．讨论题：如图，若在本节所讲的例1中，将作法改为：
(1)作点b关于直线a的对称点b＇；
(2)连结ab＇交a于点d．
试问这样作出的点d和原作法中的点c是否重合？为什么？
(这道题是为了让学生学习如何应用轴对称的性质2去解决有关的几何问题，以免学生忽视对性质2的应用．)
2．两条公路交叉成α角(α＜90°)，在两条道路中间的p点有一个油库，如果要在两条公路上各设置一个加油站，设置在何处，可使运油车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短．
把这一个实际问题转化为数学问题即为：
已知：∠abc和角内一点p，∠abc＝α，90°．
求作：点q，r分别在射线ba，bc上，并且pq＋qr＋rp最小．
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