1．把一张矩形纸片abcd按如图方式折叠，使顶点b和d重合，折痕为ef．
1）连接be，求证：四边形bfde是菱形；
2）若ab=8cm，bc=16cm，求线段df和ef的长．
2．操作与证明：
把一个含45°角的直角三角板bef和一个正方形abcd摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点b重合，点e，f分别在正方形的边cb，ab上，易知：af=ce，af⊥ce．（如图1）（不要证明）
1）将图1中的直角三角板bef绕点b顺时针旋转α度（0＜α＜45），连接af，ce，（如图2），试证明：af=ce，af⊥ce．
猜想与发现：
2）将图2中的直角三角板bef绕点b顺时针继续旋转，使bf落在bc边上，连接af，ce，（如图3），点m，n分别为af，ce的中点，连接mb，bn．
mb，bn的数量关系是 ；
mb，bn的位置关系是 ．
变式与**：
3）图1中的直角三角板bef绕点b顺时针旋转180°，点m，n分别为df，ef的中点，连接ma，mn，（如图4），ma，mn的数量关系、位置关系又如何？为什么？
解：（1）由折叠的性质可得∠bfe=∠dfe，ad∥bc，∠bfe=∠def，∠dfe=∠def，de=df，四边形bfde是平行四边形，由折叠知，bf=df．
四边形bfde是菱形；
3）在rt△dcf中，设df=x，则bf=x，cf=16﹣x，由勾股定理得：x2=（16﹣x）2+82，解得x=10，∴df=10cm，连接bd．在rt△bcd中，bd==8，s菱形bfde=efbd=bfdc， ∴ef×8=10×8
解得ef=4cm．
解：（1）如图2，延长af交ec于g，交bc于h，四边形abcd是正方形，ab=bc，∠abc=90°，∠abf+∠fbc=90°，△bef是等腰直角三角形，be=bf，∠ebf=90°，∠cbe+∠fbc=90°，∠abf=∠cbe，在△abf和△cbe中，，∴abf≌△cbe，af=ce，∠baf=∠bce，∠baf+ahb=90°，∠ahb=∠chg，∠bce+∠chg=90°， af⊥ce．
2）①相等；②垂直．故答案为：相等，垂直．
3）ma=mn，ma⊥mn，理由：如图4，连接de，四边形abcd是正方形，ab=bc=cd=da，∠abc=∠bcd=∠cda=∠dab=90°，∵bef是等腰直角三角形，be=bf，∠ebf=90°，点e、f分别在正方形cb、ab的延长线上，ab+bf=cb+be，即af=ce，，∴adf≌△cde，df=de，∠1=∠2，在rt△adf中，点m是df的中点，ma=df=md=mf，∠1=∠3，点n是ef的中点，mn是△def的中位线，mn=de，mn∥de，ma=mn，∠2=∠3，∠2+∠4=∠abc=90°，∠4=∠5，∠3+∠5=90°，∠6=180°﹣（3+∠5）=90°，∠7=∠6=90°，ma⊥mn．
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