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2017-2018学年人教版初中数学。
八年级数学暑假总复习资料。
初二：第一部分分式。
知识网络】第一讲分式的运算。
知识要点】1.分式的概念以及基本性质；
2.与分式运算有关的运算法则。
3.分式的化简求值(通分与约分)
4.幂的运算法则。
主要公式】1.同分母加减法则：
2.异分母加减法则：;
3.分式的乘法与除法：,
4.同底数幂的加减运算法则：实际是合并同类项。
5.同底数幂的乘法与除法；am● an =am+n; am÷ an =am－n
6.积的乘方与幂的乘方：(ab)m= am bn , am)n= amn
7.负指数幂： a-p= a0=1
8.乘法公式与因式分解：平方差与完全平方式。
a+b)(a-b)= a2- b2 ;(a±b)2= a2±2ab+b2
一）、分式定义及有关题型。
题型一：考查分式的定义。
例1】下列代数式中：，是分式的有。
题型二：考查分式有意义的条件。
例2】当有何值时，下列分式有意义。
题型三：考查分式的值为0的条件。
例3】当取何值时，下列分式的值为0.
题型四：考查分式的值为正、负的条件。
例4】（1）当为何值时，分式为正；
2）当为何值时，分式为负；
3）当为何值时，分式为非负数。
练习：1．当取何值时，下列分式有意义：
2．当为何值时，下列分式的值为零：
3．解下列不等式。
二）分式的基本性质及有关题型。
1．分式的基本性质：
2．分式的变号法则：
题型一：化分数系数、小数系数为整数系数。
例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数。
题型二：分数的系数变号。
例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号。
题型三：化简求值题。
例3】已知：，求的值。
提示：整体代入，①，转化出。
例4】已知：，求的值。
例5】若，求的值。
练习：1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数。
2．已知：，求的值。
3．已知：，求的值。
4．若，求的值。
5．如果，试化简。
三）分式的运算。
1．确定最简公分母的方法：
最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；
最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂。
2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；
取分子、分母相同的字母因式的最低次幂。
题型一：通分。
例1】将下列各式分别通分。
题型二：约分。
例2】约分：
题型三：分式的混合运算。
例3】计算：
题型四：化简求值题。
例4】先化简后求值。
1）已知：，求分子的值；
2）已知：，求的值；
3）已知：，试求的值。
题型五：求待定字母的值。
例5】若，试求的值。
练习：1．计算。
2．先化简后求值。
1），其中满足。
2）已知，求的值。
3．已知：，试求、的值。
4．当为何整数时，代数式的值是整数，并求出这个整数值。
四）、整数指数幂与科学记数法。
题型一：运用整数指数幂计算。
例1】计算：（12）
题型二：化简求值题。
例2】已知，求（1）的值；（2）求的值。
题型三：科学记数法的计算。
例3】计算：（1）；（2）.
练习：1．计算：（1）
2．已知，求（1），（2）的值。
第二讲分式方程。
知识要点】1.分式方程的概念以及解法；
2.分式方程产生增根的原因。
3.分式方程的应用题
主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数；
2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程；方程两边同乘以最简公分母。
3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系，恰当地设末知数。
一）分式方程题型分析。
题型一：用常规方法解分式方程。
例1】解下列分式方程。
提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根。
题型二：特殊方法解分式方程。
例2】解下列方程。
提示：（1）换元法，设；（2）裂项法，.
例3】解下列方程组。
题型三：求待定字母的值。
例4】若关于的分式方程有增根，求的值。
例5】若分式方程的解是正数，求的取值范围。
提示：且，且。
题型四：解含有字母系数的方程。
例6】解关于的方程。
提示：（1）是已知数；（2）.
题型五：列分式方程解应用题。
练习：1．解下列方程：
2．解关于的方程：
3．如果解关于的方程会产生增根，求的值。
4．当为何值时，关于的方程的解为非负数。
5．已知关于的分式方程无解，试求的值。
二）分式方程的特殊解法。
解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：
一、交叉相乘法。
例1．解方程：
二、化归法。
例2．解方程：
三、左边通分法。
例3：解方程：
四、分子对等法。
例4．解方程：
五、观察比较法。
例5．解方程：
六、分离常数法。
例6．解方程：
七、分组通分法。
例7．解方程：
三）分式方程求待定字母值的方法。
例1．若分式方程无解，求的值。
例2．若关于的方程不会产生增根，求的值。
例3．若关于分式方程有增根，求的值。
例4．若关于的方程有增根，求的值。
第二部分反比例函数。
一、基础知识。
1. 定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数。还可以写成。
2. 反比例函数解析式的特征：
等号左边是函数，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1.
比例系数。自变量的取值为一切非零实数。
函数的取值是一切非零实数。
3. 反比例函数的图像。
图像的画法：描点法。
1 列表（应以o为中心，沿o的两边分别取三对或以上互为相反的数）
2 描点（有小到大的顺序）
3 连线（从左到右光滑的曲线）
反比例函数的图像是双曲线，（为常数，）中自变量，函数值，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。
反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是或）。
反比例函数（）中比例系数的几何意义是：过双曲线（）上任意引轴轴的垂线，所得矩形面积为。
4．反比例函数性质如下表：
5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出）
6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数，但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系。
7. 反比例函数的应用。
二、例题。例1】如果函数的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？
解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数，（）即（）又在第二，四象限内，则可以求出的值。
答案】由反比例函数的定义，得：
解得。时函数为。
例2】在反比例函数的图像上有三点，，，若则下列各式正确的是（ ）
a． b． c． d．
解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。
解法一：由题意得，，
所以选a解法二：用图像法，在直角坐标系中作出的图像。
描出三个点，满足观察图像直接得到选a
解法三：用特殊值法。
例3】如果一次函数相交于点（），那么该直线与双曲线的另一个交点为（ ）
解析】例4】 如图，在中，点是直线与双曲线在第一象限的交点，且，则的值是___
图。解：因为直线与双曲线过点，设点的坐标为。
则有。所以。
又点在第一象限，所以。
所以。而已知。
所以。三、练习题。
1.反比例函数的图像位于（ ）
a．第。一、二象限 b．第。
一、三象限 c．第。
二、三象限 d．第。
二、四象限。
2.若与成反比例，与成正比例，则是的（ ）
a、正比例函数 b、反比例函数 c、一次函数 d、不能确定。
3.如果矩形的面积为6cm2，那么它的长cm与宽cm之间的函数图象大致为（ ）
4.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p ( kpa ) 是气体体积v ( m3 )
的反比例函数，其图象如图所示．当气球内气压大于120 kpa时，气球将**．为了安全起见，气球的体积应（ ）
a、不小于m3 b、小于m3 c、不小于m3 d、小于m3
5．如图 ，a、c是函数的图象上的任意两点，过a作轴的垂线，垂足为b，过c作y轴的垂线，垂足为d，记rtδaob的面积为s1，rtδcod的面积为s2则 （
a． s1 ＞s2b． s1 c． s1=s2d． s1与s2的大小关系不能确定。
6．关于x的一次函数y=-2x+m和反比例函数y=的图象都经过点a（-2，1）.
求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）两函数图象的另一个交点b的坐标；
3）△aob的面积．
7. 如图所示，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于a、b两点，与x轴交于点c．已知点a的坐标为（－2，1），点b的坐标为（，m）．
1）求反比例函数和一次函数的解析式；
2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．
四、课后作业。
1．对与反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
a．点（）在它的图像上 b．它的图像在第。
一、三象限。
c．当时， d．当时，
2.已知反比例函数的图象经过点（1，-2），则这个函数的图象一定经过（ ）
a、（2，1） b、（2，-1） c、（2，4） d、（-1，-2）
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