新人教版八年级(上)数学第十五章分式。
知识点和典型例习题。
教学目标。1、进一步理解分式的概念,掌握分式有意义、值为零的条件。
2、进一步理解并掌握分式的基本性质。
3、能使用分式的加、减、乘、除法则准确地实行计算。
4、水平目标:进一步培养学生的运算水平及有条理地思考问题的水平。
重难点、关键。
1.重点:通过理解分式的基本性质,掌握分式的运算、应用.
2.难点:分式的通分以及分式方程的“建模”.
3.关键:把握分式的基本性质,领会算理.
知识网络】思想方法】
1.转化思想。
转化是一种重要的数学思想方法,应用非常广泛,使用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题,把生疏的问题转化为熟悉问题,本章很多地方都体现了转化思想,如,分式除法、分式乘法;分式加减运算的基本思想:异分母的分式加减法、同分母的分式加减法;解分式方程的基本思想:把分式方程转化为整式方程,从而得到分式方程的解等.
2.建模思想。
本章常用的数学方法有:分解因式、通分、约分、去分母等,在使用数学知识解决实际问题时,首先要构建一个简单的数学模型,通过数学模型去解决实际问题,经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程,体会分式方程的模型思想,对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义.
3.类比法
本章突出了类比的方法,从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则,从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧,无一不体现了类比思想的重要性,分式方程解法及应用也能够类比一元一次方程.
第一讲分式的运算。
知识要点】1.分式的概念以及基本性质;
2.与分式运算相关的运算法则。
3.分式的化简求值(通分与约分)
4.幂的运算法则。
主要公式】1.同分母加减法则:
2.异分母加减法则:;
3.分式的乘法与除法:,4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项。
5.同底数幂的乘法与除法;am● an =am+n; am÷ an =am-n
6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m= am bn , am)n= amn
7.负指数幂: a-p= a0=1
8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式。
a+b)(a-b)= a2- b2 ;(a±b)2= a2±2ab+b2
一)、分式定义及相关题型。
题型一:考查分式的定义。
例1】下列代数式中:,是分式的有。
题型二:考查分式有意义的条件。
例2】当有何值时,下列分式有意义。
题型三:考查分式的值为0的条件。
例3】当取何值时,下列分式的值为0.
题型四:考查分式的值为正、负的条件。
例4】(1)当为何值时,分式为正;
2)当为何值时,分式为负;
3)当为何值时,分式为非负数。
练习:1.当取何值时,下列分式有意义:
2.当为何值时,下列分式的值为零:
3.解下列不等式。
二)分式的基本性质及相关题型。
1.分式的基本性质:
2.分式的变号法则:
题型一:化分数系数、小数系数为整数系数。
例1】不改变分式的值,把分子、分母的系数化为整数。
题型二:分数的系数变号。
例2】不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号。
题型三:化简求值题。
例3】已知:,求的值。
提示:整体代入,①,转化出。
例4】已知:,求的值。
例5】若,求的值。
练习:1.不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的系数化为整数。
2.已知:,求的值。
3.已知:,求的值。
4.若,求的值。
5.如果,试化简。
三)分式的运算。
1.确定最简公分母的方法:
最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;
最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂。
2.确定最大公因式的方法:①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数;
取分子、分母相同的字母因式的最低次幂。
题型一:通分。
例1】将下列各式分别通分。
题型二:约分。
例2】约分:
题型三:分式的混合运算。
例3】计算:
题型四:化简求值题。
例4】先化简后求值。
1)已知:,求分子的值;
2)已知:,求的值;
3)已知:,试求的值。
题型五:求待定字母的值。
例5】若,试求的值。
练习:1.计算。
2.先化简后求值。
1),其中满足。
2)已知,求的值。
3.已知:,试求、的值。
4.当为何整数时,代数式的值是整数,并求出这个整数值。
四)、整数指数幂与科学记数法。
题型一:使用整数指数幂计算。
例1】计算:(12)
题型二:化简求值题。
例2】已知,求(1)的值;(2)求的值。
题型三:科学记数法的计算。
例3】计算:(1);(2).
练习:1.计算:(1)
2.已知,求(1),(2)的值。
第二讲分式方程。
知识要点】1.分式方程的概念以及解法;
2.分式方程产生增根的原因。
3.分式方程的应用题
主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;
2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母。
3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数。
一)分式方程题型分析。
题型一:用常规方法解分式方程。
例1】解下列分式方程。
提示易出错的几个问题:①分子不添括号;②漏乘整数项;③约去相同因式至使漏根;④忘记验根。
题型二:特殊方法解分式方程。
例2】解下列方程。
提示:(1)换元法,设;(2)裂项法,.
例3】解下列方程组。
题型三:求待定字母的值。
例4】若关于的分式方程有增根,求的值。
例5】若分式方程的解是正数,求的取值范围。
提示:且,且。
题型四:解含有字母系数的方程。
例6】解关于的方程。
提示:(1)是已知数;(2).
题型五:列分式方程解应用题。
练习:1.解下列方程:
2.解关于的方程:
3.如果解关于的方程会产生增根,求的值。
4.当为何值时,关于的方程的解为非负数。
5.已知关于的分式方程无解,试求的值。
二)分式方程的特殊解法。
解分式方程,主要是把分式方程转化为整式方程,通常的方法是去分母,并且要检验,但对一些特殊的分式方程,可根据其特征,采取灵活的方法求解,现举例如下:
一、交叉相乘法。
例1.解方程:
二、化归法。
例2.解方程:
三、左边通分法。
例3:解方程:
四、分子对等法。
例4.解方程:
五、观察比较法。
例5.解方程:
六、分离常数法。
例6.解方程:
七、分组通分法。
例7.解方程:
三)分式方程求待定字母值的方法。
例1.若分式方程无解,求的值。
例2.若关于的方程不会产生增根,求的值。
例3.若关于分式方程有增根,求的值。
例4.若关于的方程有增根,求的值。
部编 人教数学八年级上册《分式小结习题训练》教案
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八年级 分式习题
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