新人教版八年级(上)数学第十五章分式。
知识点和典型例习题。
教学目标。1、进一步理解分式的概念，掌握分式有意义、值为零的条件。
2、进一步理解并掌握分式的基本性质。
3、能使用分式的加、减、乘、除法则准确地实行计算。
4、水平目标：进一步培养学生的运算水平及有条理地思考问题的水平。
重难点、关键。
1．重点：通过理解分式的基本性质，掌握分式的运算、应用．
2．难点：分式的通分以及分式方程的“建模”．
3．关键：把握分式的基本性质，领会算理．
知识网络】思想方法】
1．转化思想。
转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，使用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等．
2．建模思想。
本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在使用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义．
3．类比法
本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也能够类比一元一次方程．
第一讲分式的运算。
知识要点】1.分式的概念以及基本性质；
2.与分式运算相关的运算法则。
3.分式的化简求值(通分与约分)
4.幂的运算法则。
主要公式】1.同分母加减法则：
2.异分母加减法则：;
3.分式的乘法与除法：,4.同底数幂的加减运算法则：实际是合并同类项。
5.同底数幂的乘法与除法；am● an =am+n; am÷ an =am－n
6.积的乘方与幂的乘方：(ab)m= am bn , am)n= amn
7.负指数幂： a-p= a0=1
8.乘法公式与因式分解：平方差与完全平方式。
a+b)(a-b)= a2- b2 ;(a±b)2= a2±2ab+b2
一）、分式定义及相关题型。
题型一：考查分式的定义。
例1】下列代数式中：，是分式的有。
题型二：考查分式有意义的条件。
例2】当有何值时，下列分式有意义。
题型三：考查分式的值为0的条件。
例3】当取何值时，下列分式的值为0.
题型四：考查分式的值为正、负的条件。
例4】（1）当为何值时，分式为正；
2）当为何值时，分式为负；
3）当为何值时，分式为非负数。
练习：1．当取何值时，下列分式有意义：
2．当为何值时，下列分式的值为零：
3．解下列不等式。
二）分式的基本性质及相关题型。
1．分式的基本性质：
2．分式的变号法则：
题型一：化分数系数、小数系数为整数系数。
例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数。
题型二：分数的系数变号。
例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号。
题型三：化简求值题。
例3】已知：，求的值。
提示：整体代入，①，转化出。
例4】已知：，求的值。
例5】若，求的值。
练习：1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数。
2．已知：，求的值。
3．已知：，求的值。
4．若，求的值。
5．如果，试化简。
三）分式的运算。
1．确定最简公分母的方法：
最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；
最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂。
2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；
取分子、分母相同的字母因式的最低次幂。
题型一：通分。
例1】将下列各式分别通分。
题型二：约分。
例2】约分：
题型三：分式的混合运算。
例3】计算：
题型四：化简求值题。
例4】先化简后求值。
1）已知：，求分子的值；
2）已知：，求的值；
3）已知：，试求的值。
题型五：求待定字母的值。
例5】若，试求的值。
练习：1．计算。
2．先化简后求值。
1），其中满足。
2）已知，求的值。
3．已知：，试求、的值。
4．当为何整数时，代数式的值是整数，并求出这个整数值。
四）、整数指数幂与科学记数法。
题型一：使用整数指数幂计算。
例1】计算：（12）
题型二：化简求值题。
例2】已知，求（1）的值；（2）求的值。
题型三：科学记数法的计算。
例3】计算：（1）；（2）.
练习：1．计算：（1）
2．已知，求（1），（2）的值。
第二讲分式方程。
知识要点】1.分式方程的概念以及解法；
2.分式方程产生增根的原因。
3.分式方程的应用题
主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数；
2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程；方程两边同乘以最简公分母。
3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系，恰当地设末知数。
一）分式方程题型分析。
题型一：用常规方法解分式方程。
例1】解下列分式方程。
提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根。
题型二：特殊方法解分式方程。
例2】解下列方程。
提示：（1）换元法，设；（2）裂项法，.
例3】解下列方程组。
题型三：求待定字母的值。
例4】若关于的分式方程有增根，求的值。
例5】若分式方程的解是正数，求的取值范围。
提示：且，且。
题型四：解含有字母系数的方程。
例6】解关于的方程。
提示：（1）是已知数；（2）.
题型五：列分式方程解应用题。
练习：1．解下列方程：
2．解关于的方程：
3．如果解关于的方程会产生增根，求的值。
4．当为何值时，关于的方程的解为非负数。
5．已知关于的分式方程无解，试求的值。
二）分式方程的特殊解法。
解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：
一、交叉相乘法。
例1．解方程：
二、化归法。
例2．解方程：
三、左边通分法。
例3：解方程：
四、分子对等法。
例4．解方程：
五、观察比较法。
例5．解方程：
六、分离常数法。
例6．解方程：
七、分组通分法。
例7．解方程：
三）分式方程求待定字母值的方法。
例1．若分式方程无解，求的值。
例2．若关于的方程不会产生增根，求的值。
例3．若关于分式方程有增根，求的值。
例4．若关于的方程有增根，求的值。
部编 人教数学八年级上册《分式小结习题训练》教案
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八年级 分式习题
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