上海2023年八年级第一学期期末复习几何证明(1)（2）
第一类】考察三角形全等及常用辅助线。
1. 已知：△abc边bc上的高ad所在的直线与ac上的高be所在的直线相交于点f
1）如图①，若△abc为锐角三角形且∠abc=45°过点f做fg∥bc，交直线ab于点g，试**线段fg，dc，ad三者之间满足怎样的数量关系？并说明理由。
2）如图②，若∠abc=135°，其他的条件不变，试**（1）中三条线段之间满足怎样的数量关系？并说明理由。
2. 如图，两个全等的含°角的三角板ade和三角板abc放置在一起，∠dea
∠acb=90°，∠dae=∠abc=30°，e、a、c三点在一条直线上，连接bd，取bd中点m，连接me、mc，试判断△emc的形状，并说明理由．
3. 如图，已知e是正方形abcd的边cd 的中点，点f在bc上，且∠dae=∠fae.
求证：af=ad+cf
4. 在△中，的平分线交于点，点为上一动点，过点作直线⊥
于，分别交直线于点。
（1）当直线经过点时（如图2），证明：
（2）当中点时，写出和之间的等量关系，并加以证明；
（3）请直接写出、之间的等量关系。
解：第二类】考察角平分线定理与垂直平分线定理。
1. 已知：如图，在△abc中，∠c=120°，变ac的垂直平分线de与ac、ab分别交于点d和点e.
1)作出边ac的垂直平分线de.
2)当ae=bc时，求∠a的度数。
2. 如图所示，在中，
1）尺规作图：作线段的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法，写出结论）；
2）在已作的图形中，若分别交及的延长线于点，
连接．求证：
3. 已知：如图，在△abc中，b=60，bc=4.
1）用尺规在直线ab上求作一点p，使点p到点b、c的距离相等。
不写作法，保留作图痕迹）
2）求出点p到点b的距离。
5. 如图：在△acb中，点d是ab边上一点，且∠acb=∠cda，∠cab的平分线分别交cd、bc于点e、f．
1）作出∠cab的平分线ae；
2）试说明△cef是什么三角形？并证明你的结论．
4. 如图，已知在△abc中，1）根据要求作图，在边bc上求作一点d，使得点d到ab、bc的距离相等，在边ab上求作一点e，使得点e到a、d的距离相等（不要求写作法，但要保留作图痕迹和结论）
2）在第（1）小题所作的图中，求证：de//ac.
5. 已知：如图，在△abc中，点d是bc边的中点，de⊥ab,df⊥ac,垂足分别是点e、f,且be=cf. 求证：ad平分∠bac
6. 如图，已知点d是△abc的边ac上的一点，过点d作de⊥ab,df⊥bc,e、f为垂足，且de=df,过点d作dg//ab,交bc于点g.(1)求证：
dg=bg; (2)求证：bd垂直平分ef.
7. 已知：如图，△abc中，bc边中垂线ed交bc于e，交ba延长线于d，过c作cf⊥bd于f，交de于g，df＝['altimg':
w': 22', h': 43', eqmath':
f(1,2)'}bc. 试证明：∠fcb＝['altimg':
w': 22', h': 43', eqmath':
f(1,2)'}b．
8. 如图，已知ae平分∠bac,ed垂直平分bc，ef⊥ac,eg⊥ab,垂足分别是点f、g.
求证：（1）bg=cf;(2) ab=af+cf
9. 已知，如图，oc是∠aob的平分线，p是oc上的一点，pd⊥oa,垂足为点d，pe⊥ob,垂足为点e,点m、n分别**段od和射线eb上，pm=pn, ∠aob=68°.求∠mpn的度数。
10. 如图（第27题图1）,已知中， bc=3, ac=4, ab=5,直线md是ab的垂直平分线，分别交ab、ac于m 、d点。 (1)求线段dc的长度；
2)如图（第27题图2），联接cm，作的平分线交dm于n .
求证：cm=mn .
11. 如图，已知在⊿abc中，分别以ac、bc为边向外做正三角形bce和⊿acd，bd与ae交于m.求证：mc平分∠dme
12. 如图①，op是∠mon的平分线，请你利用该图形画一对以op所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
1）如图②，在△abc中，∠acb是直角，∠b=60°，ad、ce分别是∠bac、∠bca的平分线，ad、ce相交于点f。请你判断并写出fe与fd之间的数量关系；
2）如图③，在△abc中，如果∠acb不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
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