第2讲几何辅助线专题（一）
模块一：中线倍长构造全等。
基本图形：已知ad为△abc的中线．
基本技巧：通过倍长中点处的线段，构造sas全等．
基本结论：abd≌△ecdadc≌△edb
ab∥cebe∥ac
例1、△abc中，ad为中线，ab＝6，ac＝4，求ad的取值范围．
例2、如图，点d为bc的中点，de⊥df交ab于e，交ac于f，求证：be＋cf＞ef．
练1】如图，ab＝ae，ab⊥ae，ad＝ac，ad⊥ac，点 m 为 bc的中点．求证：de＝2am．
练2】如图，在四边形abcd中，ab∥dc，e为bc的中点，∠bae＝∠eaf，af与dc的延长线交于点f，求证：af＋cf＝ab．
模块二：向中点处的线段作垂线。
基本图形：已知ad为△abc的中线。
基本技巧：过线段的两端点，向中点处的线段作垂线，构造aas或asa全等．
基本结论：rt△bed≌rt△cfdae＋af＝(ad－de)＋(ad＋df)＝2ad
例3、如图，△abc中，∠abc＝90°，ac＝ce，bc＝cd，∠ace＝∠bcd＝90°，bc的延长线交de于f．
1）求证：ef＝df；
2）求证：s△abc＝s△dce．
练1】如图，△abc中，d为ac的中点，过点a，c两点分别作af⊥bd于f，ce⊥bd交bd的延长线于e，若bf＝2，be＝5.5，设m＝ab＋bc，则m___7.5（填“＞”或“＝”
模块三：夹半角模型。
夹半角模型分类：
1）90度夹45；（此类型的题八上一般出现在正方形顶点位置夹45°）
2）120度夹60度；（此类型的题一般为顶角为120°的等腰夹60°）
3）2α夹α；（此类型的题的背景一般为邻边相等、对角互补的四边形，在等线段的端点处夹半角）
具体图形参照以下例题，一定要熟悉此类基本图形．
类型一 90度夹45度。
例4、如图，在四边形abcd中，∠bad＝∠b＝∠c＝∠d＝90°，ab＝bc＝cd＝ad，e在bc上，f在cd上，且∠eaf＝45°．求证：（1）be＋df＝ef；（2）∠aeb＝∠aef．
练1】在例1的条件下，若e在cb延长线上，f在dc延长线上，其余条件不变，证明：
1）df－be＝ef；
2）∠aeb＋∠aef＝180°．
练2】正方形abcd中，e为bc上的一点，f为cd上的一点，af平分∠dfe，求∠eaf的度数．
练3】如图，e，f分别是正方形abcd的边bc，cd上的点，且∠eaf＝45°，ah⊥ef，h为垂足．求证：ah＝ab．
类型二 120度夹60度。
例5、已知如图，△abc为等边三角形，∠bdc＝120°，db＝dc，m、n分别是ab、ac上的动点，且∠mdn＝60°，求证：mb＋cn＝mn．
练1】如图，四边形abcd中，∠a＝∠bcd＝90°，∠adc＝60°，ab＝bc，e、f分别在ad、dc延长线上，且∠ebf＝60°，求证：ae＝ef＋cf．
练2】在等边△abc的两边ab、ac所在直线上分别有两点m、n．d为△abc外一点，且∠mdn＝60°，∠bdc＝120°，bd＝dc．**：当m、n分别在直线ab、ac上移动时，bm、nc、mn之间的数量关系以及△amn的周长q与等边△abc的周长l的关系．
1）如图1所示，当点m、n在边ab、ac上，且dm＝dn时，bm、nc、mn之间的数量关系是此时不必证明）
2）如图2所示，当点m、n在边ab、ac上，且当dm≠dn时，猜想（1）问的两个结论成立吗？写出你的猜想并加以证明；
3）如图3所示，当m、n分别在边ab、ca的延长线上时，若an＝2，则q用含有l的式子表示）
类型三 2α夹α
例6、如图，在四边形abdc中，m、n分别为ab、ac上的点，若∠bac＋∠bdc＝180°，bd＝dc，∠mdn＝∠bdc，求证：bm＋cn＝mn．
练】如图，在例4的条件下，若m、n分别为ba延长线、ac延长线上的点，∠bac＋∠bdc＝180°，bd＝dc，∠mdn＝∠bdc，**：线段bm、cn、mn的数量关系．
1．如图，已知cd＝ab，∠bda＝∠bad，ae是△abd的中线．求证：∠c＝∠bae．
2．如图，△abc为等边三角形，ec＝ed，∠ced＝120°，p为bd的中点．求证：ae＝2pe．
3．已知△abc为等边三角形，△bcd为顶角为120°的等腰三角形，db＝dc，∠bdc＝120°．
图 1图 2图 3
1）如图1，e、f分别在ab、ac上，且∠edf＝60°，求证：be＋cf＝ef；
2）如图2，e为ba延长线上一点，f为bc延长线上一点，且∠edf＝60°，试探索线段be、cf与线段ef之间的数量关系；
3）如图3，e、f分别在bd、cd上，且∠eaf＝30°，求证：be＋cf＝ef．
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