函数。第1课时常量与变量。
教学目标。知识与技能：借助简单实例，学生初步感知用常量与变量来刻画一些简单的数学问题，能指出具体问题中的常量、变量．初步理解存在一类变量可以用函数方式来刻画，能举出涉及两个变量的实例，并指出由哪一个变量确定另一个变量，这两个变量是否具有函数关系。
初步理解对应的思想，体会函数概念的核心是两个变量之间的特殊对应关系，能判断两个变量间是否具有函数关系。
过程与方法：借助简单实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程，体会从生活实例抽象出数学知识的方法，感知现实世界中变量之间联系的复杂性，数学研究从最简单的情形入手，化繁为简。
情感态度与价值观：从学生熟悉、感兴趣的实例引入课题，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程，体验“发现、创造”数学知识的乐趣。学生初步感知实际生活蕴藏着丰富的数学知识，感知数学是有用、有趣的学科。
重点： 借助简单实例，从两个变量间的特殊对应关系抽象出函数的概念。
难点： 怎样理解“唯一对应”
教学过程：1、创设情境、导入新课。
我们生活在一个运动的世界中，周围的事物都是运动的。例如，地球在宇宙中的运动这一问题，此时地球在宇宙中的位置随着时间的变化而变化，这是生活中的常识，学生都很容易理解。再例如，气温随着高度的升高而降低，年龄随着时间的增长而增长。
这几个问题中都涉及两个量的关系，地球的位置与时间，温度与高度，年龄与时间。
二、合作交流、解读**。
1、气温问题：下图是北京春季某一天的气温ｔ随时间t变化的图象，看图回答：
1）这天的8时的气温是 ℃，14时的气温是 ℃，最高气温是 ℃，最低气温是 ℃；
2）这一天中，在4时~12时，气温（ ）在16时~24时，气温（ ）
a.持续升高 b.持续降低
c.持续不变。
思考：1）气温随的变化而变化，即t随的变化而变化；
2）当时间t取定一个确定的值时，对应的温度t的取值是否唯一确定？
2、当正方形的边长x分别取，…时，正方形的面积s分别是多少？
3、某城市居民用的天然气，1m3收费2.88元，使用x m3天然气应缴纳费用y=2.88x ,当x=10时，缴纳的费用为多少？
思考：上述三个问题，分别涉及哪些量的关系？哪些量是变化的？
哪些量是不变的？哪个量的变化导致另一个量的变化而变化？在一个问题中，当一个量取了确定的值之后，另一个量对应的能取几个值？
在上面的三个问题中，其中一个量的变化引起另一个量的变化（按照某种规律变化），变化的量叫作变量；有些量的值始终不变（如正方形的面积……）并且当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就随之确定，且它的对应值只有一个。
教师根据学生的回答，在黑板上板书：
时间－－－气温。
正方形边长－－－正方形面积。
天然气费用－－－天然气体积。
学生们会得出：
师生对上述三个问题进行分析，找出它们的共性，归纳出函数的概念。
在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y总有唯一的值与它对应，我们就说x是自变量，y是x的函数。
三、应用迁移、巩固提高。
例1 已知圆柱的高是4cm，底面半径长是rcm，当圆柱的底面半径长r由小变大时，圆柱的体积vcm3是r的函数。
1）用含r的代数式表示圆柱的体积v，指出自变量r的取值范围；
2）当r=5,10时，v是多少（结果保留）？
3）r的变化会引起圆柱中哪些量发生变化？这些变量是半径长r的函数吗？
4）试求体积v随r变化的关系式，并指出其中的常量、变量与自变量。
课堂练习。1.请同学们找出这些函数的常量、变量、自变量和函数：
(2) y=x；
3) s=；
解：(1)常量是3000，－300；变量是x，y；自变量是x；y是x的函数。
1) 常量是1；变量是x，y；自变量是x；y是x的函数。
3)常量是π；变量是r，s；自变量是r；s是r的函数。
2.根据所给的条件，写出y与x的函数关系式：
① y 比 x的1/3 少2。② y 是 x的倒数的4倍。
③ 矩形的周长是18 cm ,它的长是ycm，宽是x cm。
④ 等腰三角形的顶角度数y与底角x的关系。
四、全课小结。
1．这一节课你有什么收获？还有什么疑问？你可以编一道题考一考同学，也可以向同学请教。
2．函数是一种“数”吗？
5、布置作业：
课后反思：第2课时函数的表示方法。
教学目标：知识与技能：1、了解函数的三种表示法：(1)公式法(2)列表法(3)图象法；2、进一步理解函数值的概念；3、会在简单情况下，根据函数的表示式求函数的值。
过程与方法：1.经历回顾思考，训练提高归纳总结能力。2.利用数形结合思想，根据具体情况选用适当方法解决问题的能力。
情感态度与价值观：积极参与活动，提高学习兴趣。
重点： 认清函数的不同表示方法，知道各自的优缺点，能按具体情况选用适当的方法。
难点： 函数表示方法的应用。
教学过程：一、创设情境
问题1 小明的哥哥是一名大学生，他利用暑假去一家公司打工，报酬按16元／时计算．设小明的哥哥这个月工作的时间为时，应得的报酬为元，填写下表后回答下列问题：
1）在上述问题中，哪些是常量？哪些是变量？（常量16，变量、）
2）能用的代数式来表示的值吗？（能， =16）
教师指出：在这个变化过程中，有两个变量，，对的每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应．
问题2 跳远运动员按一定的起跳姿势，其跳远的距离 (米)与助跑的速度 (米／秒)有关．根据经验，跳远的距离 (0<<10.5) 然后回答下列问题：
1）在上述问题中，哪些是常量？哪些是变量？（常量0.085，变量、）
2）计算当分别为7.5，8，8.5时，相应的跳远距离是多少(结果保留3个有效数字)?
3)给定一个的值，你能求出相应的的值吗？
教师指出：在这个变化过程中，有两个变量，，对的每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应．
二、**新知：
函数的表示法：①公式法：在问题中， =16和这两个函数用等式来表示，这种表示函数关系的等式，叫作函数解析式，简称函数式．用函数解析式表示函数的方法也叫公式法．
列表法：有时把自变量的一系列值和函数的对应值列成一个表．这种表示函数关系的方法是列表法．
图象法： 我们还可以用图象法来表示函数．
教师指出：（1）公式法、列表法、图象法是表示函数的三种方法，都很重要．尤其是列表法、图象法在今后代数、统计领域的学习中经常用到，教学中应引起学生的重视．
2）对于列表法，图象法，如何表示两个变量之间的函数关系，学生可能不太容易理解，教学中可以用课本表7-2和图7-1来具体说明它们表示两个变量之间的函数关系的方法．
3）函数值概念：与自变量对应的值叫作函数值，它与自变量的取值有关，通常函数值随着自变量的变化而变化．
若函数用公式法表示，只需把自变量的值代入函数式，就能得到相应的函数值．例如，函数=16，当=5时，把它代入函数解析式，得=16×5=80(元)． 80叫作当自变量=5时的函数值．由于函数值的概念是由函数的概念派生出来，用列表法、图象法表示函数时同样存在函数值的概念，教学中也可以增加一些具体例子，来加深学生的印象．
若函数用列表法表示．我们可以通过查表得到．例如，在正方形面积与边长的函数关系中，当x=2时，函数值s=4；当x=6时，函数值s=36．
若函数用图象法表示．例如，在骑车时热量消耗 (焦)与身体质量 (千克)之间的函数关系中，对给定的自变量的值，怎样求它的函数值呢？如x=50，我们只要作一直线垂直于x轴，且垂足为点(50，0)，这条直线与图象的交点p(50，399)的纵坐标就是就是当函数值x=50时的函数值，即w=399(焦)．
学生看书自学动脑筋和例2内容并完成p115页练习。
三、应用迁移、巩固提高
例1 等腰三角形abc的周长为20，底边bc长为，腰ab长为，求：
1）关于的函数解析式；
2）当腰长ab=7时，底边的长；
3）当=11和=4时，函数值是多少？
答案：（1）=20-2；
3）当腰长ab=7，即=7时， =6，所以底边长为6；
3）当=11和=4时，函数值不再有意义．
说明（1）第1问中的函数解析式不能写成的形式，一定要把写成关于的代数式，（2）在实际问题中，自变量的取值范围往往受到条件的限制，此题的自变量的取值范围是5<<10,具体的求法本节课不作介绍，放到下一节课中去完成，当=11和=4时，尽管可求出它对应的值，但自变量的值都不在相应的取值范围内，因此当=11和=4时，函数值不再有意义．
例2 某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表：
1）y是x的函数吗？为什么？
答案：（1）是，根据函数的概念，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值；
2）当x=10时，y=2×10=20（元）．月用水量10度需缴水费20（元）；
当x=16时，y=2×12+4×2.50=34（元）．月用水量16度需缴水费34（元）；
当x=20时，y=2×12+6×2.50+2×3=45（元）．月用水量45度需缴水费45（元）．
说明本例安排的目的有两个：①是让学生进一步巩固函数的概念；②让学生体会当函数用列表法给出时函数值的求法．本例教学时教师应向学生解释“收费实行阶梯水价”的含义，即月用水量不超过12度时每度2元，超过12度不超过18度时每度2.5元，超过18度时每度3元，如月用水量为38度时，应缴水费y =2×12+6×2.
5+3×20=99（元）．
例3 下图是小明放学回家的折线图，其中t表示时间，s表示离开学校的路程． 请根据图象回答下面的问题：
1) 这个折线图反映了哪两个变量之间的关系？路程s可以看成t的函数吗？
2) 求当t=5时的函数值？
3) 当 10≤t≤15时对应的函数值是多少并说明它的实际意义？
八年级数学下册 变量与函数
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