第1讲相似图形。
比和比例。知识与方法精讲】
1.两条线段的比。
两条线段的比例概念。
比例内项、比例外项。
比例中项。比例尺。
2.成比例线段（比例线段）
概念。比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积，叫比例的基本性质；
比例的合比性质。
比例的等比性质。
3.**分割：
概念：把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，这样的分割叫**分割；每条线段的**分割点有两个。
**比：把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比；
**矩形：长与宽之比为**分割比的矩形，即长：宽=1:0.618
例题及拓展练习】
例1 现有四条线段：，，请你判断这四条线段是否是成比例线段？
拓展变式练习1
1.已知三条线段， ,若线段d与a、b、c成比例，请求线段d的长度。
2.若点p**段ab上，点q**段ab的延长线上，ab=10, ,求线段pq的长。
例2 已知，且，求的值。
拓展变式练习2
1.若，，.求的值。
2.已知，，，求a的值。
3.已知，求m的值，并判断直线经过哪些象限？
例3 等腰△abc中，ab=ac，，的角平分线bd交ac于d，且d是线段ac的**分割点，若，求ad的长。
拓展变式练习3
1.设p、q是线段ab上的**分割点，且pq=a，求ab的长。
2.如图，线段ab=2，点c是ab的**分割点，点d在ab上，且，求的值。
3.如图，四边形abcd是一个以ad为长的**矩形，ad=2cm，且e、f分别是长与宽的**分割点(ce>be，cf>df)，请判断△aef的形状，并求出它的面积。
巩固练习。一．选择题。
1.下列各组数中，能成比例的是。
a b c d
2.已知，那么等于。
a.2:5b.5:2c.5:3d.3:5
3.已知点c是线段ab的**分割点，且ac>bc，则下列等式中正确的是。
a. b. c. d.
4.把1cm的线段进行**分割，则分成的较短的线段的长是。
a. b. c. d.
5.若d、e分别是△abc的边ab、ac上的点，且，那么下列各式中正确的是( )
a. b. c. d.
6.若，且a+b+c≠0，则k的值为。
a.-1bc.1d.
二．填空题。
1.如果，那么。
2.设点c是长度2cm的线段ab的**分割点，则ac的长为___
3.若，则=__
4.已知，且，则x=__yz
5.若，则。
6.已知，线段，，则线段a、c的比例中项b是。
三．解答题。
1.已知，求的值。
2.已知a、b、c为△abc的三边，且，，求△abc的面积。
3.已知a、b、c、d都是非零实数，且，求k的值。
思维与能力提升。
1.若x是m、n的比例中项，求的值。
2.若a、b、c是非零实数，若，且，求x的值。
第 2 讲平行截割。
平行线是初中平面几何中基本而重要的图形，平行线能改变“角”的位置，并能传递“角”；同时可以“送”线段到恰当的位置。当一组平行线截两条直线时，就能获得比例线段。
过去我们运用勾股定理可以求出一些线段的长；然而在实际问题中，往往没有直角三角形这样条件，因此要积极思索，善于利用、挖掘、创造平行线，运用平行线分线段成比例定理，求出某一线段的长。
1. 平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例。
例如：如图1，已知，a、b是任意两条直线，a分别。
与相交于点a、b、c，b分别与相交于点d、
e、f. 根据定理得：. 注意：
2. 平行线分线段成比例定理的推论：
推论1：三条平行线截两条直线，若一条直线上所截得的线段相等，则在另一直线上截得的线段也相等。
例如：图1中，若e为df的中点，即de=ef，那么ab=bc.
推论2：平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。
例如：（1）如图2，在△abc中，de∥bc，下列式子正确的是___
2）如图3，已知直线gh交△mon的边no、mo的延长线分。
别于点g、h，且gh∥mn，则；
推论3：平行于三角形一边的直线，与其它两边(或两边的延长线)相交，所得三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
例如：如图2，；如图3，
3.常见的基本图形：在实际问题中，图形是比较复杂的，我们善于从复杂的图形中分解或构建出符合定理或推论的基本图形，并运用定理或推论列出比例式，达到解决问题的目的。
常见的基本图形有：“e”型，“a”型，“x”型等。
例1 如图，已知平行四边形abcd中，m、n为ab的三等分点，dm、dn分别交ac于p、q两点，若ac=15，分别求出ap、pq、qc的长。
变式练习：1如图所示，△abc中，e、d是bc边上的三等分点，af=2cf，bf=12厘米，求fm、mn、bn的长。
2如图，四边形abcd和四边形aced都是平行四边形，点r为de的中点，br分别交ac、cd于点p、q. 求bp:pq:qr的值。
例2 如图，已知△abc中，ae:eb=1:3，bd:dc=2:1，ad与ce相交于f，则的值为（ ）
a. b. c. d. 2
变式练习：已知△abc的面积为1，e是ac的中点，o是be的中点，连接ao、co，延长ao交bc于点d，延长co交ab于点f。
1)求证：d、f分别是bc、ab的三等分点；（2）求四边形bdof的面积。
例3 如图，bd、be分别是∠abc与它的邻补角∠abp的平分线，若ae⊥be，ad⊥bd，e、d为垂足。
1）求证：四边形aebd是矩形；
2）若，f、g分别是ae、ad上的动点，fg交ab于点h，当，猜想△ahg的形状，并说明理由。
变式练习：如图，在梯形abcd 中，ad∥bc，ab=dc.
1）如图1，如果p、e、f分别是bc、ac、bd的中点，求证：ab=pe+pf.
2）如图2，如果点p是bc上任意一点（中点除外），且pe∥ab，pf∥dc，那么ab=pe+pf的结论还成立吗？请说明理由。
课堂训练练习。
一、填空。1.已知，则k
2.如果，那么代数式。
3.已知，则代数式。
4.如图，△abc中有菱形ampn，如果，则。
5.如图，d是bc边上的中线，f是ad上一点，cf的延长线交ab于点e，若，则；若，则。
6.如图，梯形abcd中，ab∥ef∥cd，ab=30，cd=6，且，则ef=__
7.如图，在平行四边形abcd中，ef∥ab，，ef=4，则cd=__
8.如图，在梯形abcd中，ab∥cd，ab=3cd，e是对角线ac的中点，be延长后交ad于点f，那么___
9.如图，平行四边形abcd的对角线相交于o点，过o作一直线与cd及bc的延长线分别交于f、e点，设bc=a，cd=b，ce=c，则ef=__
10.如图，在梯形abcd中，ad∥bc，ad=a，bc=b，f、e分别bc、ad的中点，且af交be于点p，ce交df于点q，则pq的长为。
二、选择题。
11.如图，已知de∥bc，ef∥ab，现有如下结论：①；
；④，其中正确的比例式的个数有（ ）
a. b. cd.
12.在平行四边形abcd中，e是ad上一点，连接ce并延长交。
ba的延长线于f，则下列结论中错误的是（ ）
a. aef=dec b. c. d.
13.如图，已知在平行四边形abcd中，o1oo为对角线bd上四等分点，连结ao1并延长交bc于点e，连结eo2并延长交ad于点f，则ad : fd等于（ ）
abcd.
14.如图，在△abc中，ab=ac，d在ab上，e在ac的延长线上，bd=3ce，de交bc于f，则df : fe等于（ ）
2024年八年级下复习讲义
2014年八 下 数学期末复习专题讲义。第一讲二次根式。一。新课标要求 1.了解二次根式，最简二次根式的概念 2.了解二次根式 根号下仅限于数 的加 减 乘 除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算。二。二次根式知识树图。三。二次根式达标题。1 2013盐城 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范...
八年级下化学讲义
第五章化学方程式。课题一质量守恒定律。一 质量守恒定律实验 1 反应前后物质质量关系。a 红磷燃烧实验。符号表达式。实验注意事项 a 做红磷燃烧实验时，在锥形瓶地步铺一层细沙目的是。b 描述整个过程中气球的变化情况是。c 待锥形瓶冷却后，重新放到托盘天平上，天平平衡。说明。d 如果红磷燃烧前后，小气...
2019八年级下数学讲义第五讲
八年级数学下学期讲义第五讲。授课时间 2015年4月5日。科目 一元一次不等式组的应用课时 2课时。教学过程 内容 授课时段 13 50 15 20学生 备注 授课老师 徐峰。1.某零件制造车间有20名工人，已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件可获利150元，每制造...