第四章相似图形。
常州市翠竹中学陶伟松。
一、 设计背景及其重要目的。
相似图形是现实生活中广泛存在的现象（全等图形其实就是它的一个特例）。探索相似图形一些重要性质的过程，不仅可以使学生更好地认识、描述物体的形状，体会图形相似在刻画现实世界中的重要作用，而且也可以通过解决现实世界中的具体问题，提高学生应用数学的意识和解决实际问题的能力。
二、 设计内容及其主要特点。
本章较为系统地研究线段的比、成比例线段、形状相同的图形（相似图形）、相似多边形、位似图形等，探索并体验相似在现实生活中的广泛应用。在编排中力图突出如下特点：
1． 提供大量与相似图形有关的现实背景为学习素材。
以**分割、相似图形在建筑、艺术等方面广泛应用（如：五角星里与相等吗？古希腊时期巴台农神庙中矩形abcd的与宽的比是**比吗？
古埃及金字塔到底有多高？…）引导学生积极主动地观察、分析其中的相似现象，激发学生有兴趣和挑战性地思考、解决其中的相似问题，体现数学与自然、社会的密切联系，体现数学丰富的文化价值，培养学生应用数学的意识。
2． 设置生动有趣、便于直观、操作、交流和反思的数学活动为问题情境。
以问题的形式，创设一层层有利于学生动眼直观、动手操作、动**流和动脑反思的情境（如：一种作**分割点的方法、利用橡皮筋把已知图形近似的放大和缩小、探索三角形相似条件、测量旗杆的高度、探索相似多边形的性质、某城市和城市地图…），引导学生独自或合作经历这样的探索过程，逐步自主地形成而不是被动地接受正确的空间观念，愉快地获得丰富的数学活动经验，有目的地发展观察分析、画图估测、归纳概括、**交流等等能力，有意识地培养积极的情感、态度和价值观。
3． 运用直观发现、活动操作形式研究图形为主，同时加强逻辑推理的力度。
以实验为主，大都采用非常直观的、可操作的研究手段（观察、度量、拼摆、画图等）研究图形的性质（如：探索多边形相似的性质。
）；同时加强逻辑推理的力度，进行从直观发现过渡到自觉说理的训练，进行从口头说理过渡到简单的书面推理的训练（如：运用相似多边形性质的例题。
），逐步提高逻辑推理要求，为后面正式学习证明奠定基础。
4． 重视知识之间联系和渗透，方法之间的综合和转化。
以学生已有知识、经验为基础，注意统一领域之间的相互连接（如：全等、坐标、简单作图、平行…），关注数学与其他学科、现实世界之间的联系(如：利用镜子测量旗杆高度中“入射角等于反射角”、优选法、印刷业、金字塔、计算机…)，综合运用以前学过的各种方法（如：
直观发现和活动操作、说理和推理、估测和计算、典型例子和引用反例、多种方案和优选、…）
三、 设计思路及其具体分析。
本章立足学生已有的生活经验、初步的数学活动经历以及已经掌握的有关数学内容，从观察和分析生活中大量存在的成比例线段、**分割、形状相同的图形入手，直观地认识形状相同的图形，在此基础上，逐步探索和了解相似多边形的本质特征，探索和理解相似三角形的判定条件；通过测量旗杆的高度以及相似多边形的面积比和周长比问题，使学生更好地掌握图形相似的基本内容，进一步体会图形相似的应用价值和丰富内涵；同时，通过将一个图形放缩，了解位似图形及其简单特性，将图形的相似、位似，与已经认识的图形与坐标、简单作图、估测等内容巧妙地结合在一起。本章共分13节，具体说来：
第节线段的比
结合现实情境（如：大树和小颖的高、地图上和实际距离、…）了解线段的比和成比例线段等概念；利用引入比值k的方法研究比例的主要性质，理解并掌握比例的性质及其简单应用（如：利用基本、合比、等比性质在计算比值…）；通过现实情境，进一步发展学生从数学的角度提出问题、分析和解决问题的能力，培养学生应用的数学意识，体会数学与自然、社会的密切联系。
第3节**分割
通过建筑、艺术上的实例（如：五角星、…）了解**分割；知道**分割中比值为这一事实，利用这一比值了解几种作**分割点的方法（如：教科书p/98做一做、随堂练习…）；展示一些**分割的典型史料（如：
古希腊时期的巴台农神庙、优选法中0.618法、乐器上的弦和支撑点、人体上、窗框、上下层相邻的两片叶子…），体会**分割的文化价值及在人类历史上的作用和影响，同时在应用中进一步理解线段的比、成比例线段等相关内容，在实际操作、思考、交流等过程中增强学生的实践意识和自信心。
第4节形状相同的图形
结合具体实例（如：**、足球…）认识形状相同图形，包括三维图形和平面图形的相同，不需要明确“相似图形”的概念，仅渗透它的基本含义；了解一些近似的画新图形与已知图形形状相同的方法（如：利用橡皮筋的拉动、利用坐标的变化、方格纸、相似图形生成器…），了解利用这些方法可以把已知图形近似的放大和缩小；通过具体实例，体会形状相同图形在现实中的广泛应用，进一步增强学生的数学应用意识。
第5节相似多边形
通过对形状相同多边形（如：教科书p/107）的具体观察、实际操作、深入思考，来经历相似多边形概念的形成过程，了解相似多边形的含义，引导学生认识并归纳出它的本质特征；与全等形知识联系，了解相似多边形的符号表示和记法，并通过形状相同的特殊三角形、四边形和典型的反例进一步研究分析，加深理解相似多边形本质特征（如：教科书p/109议一议、做一做…）；在探索相似多边形本质特征的过程中，进一步发展学生归纳、类比、反思、交流等方面的能力，提高数学思维水平，体会反例的作用。
第6节相似三角形
由一般相似多边形到特殊相似三角形引出相似三角形的概念，并通过一些具体的情境和例题应用（如：三角形的草坪、计算例题、…）深化对相似三角形的理解和认识，渗透三角形相似与平行的内在联系；进一步体会数学内容之间的内在联系，初步认识特殊与一般之间的辨证关系，提高学生学习数学的兴趣和自信心。
第节探索三角形相似条件
以问题的形式，创设一个有利于学生动眼直观、动手操作、动**流和动脑反思的情境（如：教科书p/117做一做），引导学生**三角形相似的条件，经历这样的探索过程，进一步发展学生的**、交流能力，以及动眼、动手、动口、动脑和谐一致的习惯；初步掌握两个三角形相似的判定条件，包括两角对应相等的两三角形相似，三边对应成比例的两三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似；能够运用三角形相似的条件解决简单的问题（如：教科书p/118例题），进一步发展学生的合情推理能力和初步的逻辑推理意识，同时渗透平行与相似的内在联系。
第9节测量旗杆的高度
通过测量不能直接度量的旗杆的高度，使学生综合运用三角形相似的判定条件和性质解决问题（如：教科书p/124），发展学生的数学应用意识，加深学生对相似三角形的理解和认识；在分组合作活动以及全班交流的过程中，使学生进一步积累数学活动的经验和成功体验，增强学生数学学习的自信心；在解决实际问题的过程中，要加强不同学科之间的联系与渗透（如：入射角等于反射角…），引导学生思考用不同种方法解决问题并比较各种方案的优劣，形成优化意识。
第节相似多边形的性质。
经历探索相似多边形性质的过程（如：教科书p/128议一议…），使学生理解并掌握相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比，理解并初步掌握相似多边形周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方，并在**过程种发展学生积极的情感、态度、价值观；运用相似多边形的性质，采用近似测量、估计等直观手段，解决简单实际问题（如：教科书p/132做一做…），体验解决问题策略的多样性。
第节图形的放大与缩小
通过**实例了解位似图形概念、位似比和位似图形的性质（如：教科书p/135做一做）；利用作位似图形等多种方法（如：利用橡皮筋的拉动、利用坐标的变化、方格纸、相似图形生成器…）将一个图形放大或缩小（如：
教科书p/139议一议…）；利用图形的相似解决一些简单的实际问题，并在有关的学习和运用过程中发展学生的数学应用意识，进一步培养学生动手操作的良好习惯。
四、 一些教学与评价的建议。
1． 利用现实的教学环境，创造性地挖掘、收集与图形相似有关的各种资源，鼓励并关注学生从现实生活中“发现、分析”图形的相似，努力体现出图形相似的文化和艺术价值。
2． 根据实际的学生情况，有针对性地设计、布置展现知识发生和发展过程的各种活动，引导并关注学生参与观察分析、画图估测、归纳概括、**交流等过程，在主动地形成而不是被动地接受正确的空间观念的同时，有目的地提高学生发现问题、分析和解决问题的能力，以及自觉地进行说理和简单逻辑推理的能力。
3． 理解学生个性化的学习需求，尊重不同学生可能有着自己不同的思路和方法，倡导研究问题的方式方法的多样化、综合化（如：以直观发现、活动操作的方式研究问题为主，同时倡导研究问题方式的多样化、综合化；运用多种方法解决问题，同时注意优选），关注学生表现出来的创新和综合意识，关注学生流露出来的积极性、主动性、自信心…
五、 几点可以探论的问题。
1． 第3节**分割“做一做”中，说理点c是线段ab的**分割点，学生尚未学习一元二次方程，无法理解比值，学生可能会出现困难，教学时如有必要可以向学生说明。
2． 第12节图形的放大与缩小习题4.12第2题中，利用橡皮筋按一定比例放大图形，并尝试解释其中的道理：①放大前后的两个图形是位似图形（尽管目前无法证明）②所系橡皮筋的个数决定了放大的比例。
2024年2月4日。
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