1、(2024年咸宁市)如图，将矩形沿对角线剪开，再把沿方向平移得到．
1）证明；2）若，试问当点**段上的什么位置时，四边形是菱形，并请说明理由．
2008·深圳中考）如图，在梯形abcd中，ab∥dc， db平分∠adc，过点a作ae∥bd，交cd的延长线于点e，且∠c＝2∠e．（1）求证：梯形abcd是等腰梯形．
2）若∠bdc＝30°，ad＝5，求cd的长．
2、（2024年山西省）如图，已知直线与直线相交于点分别交轴于两点．矩形的顶点分别在直线上，顶点都在轴上，且点与点重合．
1）求的面积；
2）求矩形的边与的长；
3）若矩形从原地出发，沿轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求关于的函数关系式，并写出相应的的取值范围．
提示：第（3）问，找准平移过程中的几个临界位置分段分类－－－dg过点c，ef过点a；按重叠图形种类分段分类——五边形、四边形、三角形。
3、（2024年衡阳市）
如图，直线与两坐标轴分别相交于a、b点，点m是线段ab上任意一点（a、b两点除外），过m分别作mc⊥oa于点c，md⊥ob于d．
1）当点m在ab上运动时，你认为四边形ocmd的周长是否发生变化？并说明理由；
2）当点m运动到什么位置时，四边形ocmd的面积有最大值？最大值是多少？
3）当四边形ocmd为正方形时，将四边形ocmd沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为，正方形ocmd与△aob重叠部分的面积为s．试求s与的函数关系式并画出该函数的图象．
4．（广东省广州市）如图，四边形oabc是矩形，点a、c的坐标分别为（3，0），（0，1），点d是线段bc上的动点（与端点b、c不重合），过点d作直线y＝－x＋b交折线oab于点e．
1）记△ode的面积为s，求s与b的函数关系式；
2）当点e**段oa上时，若矩形oabc关于直线de的对称图形为四边形o1a1b1c1，试**四边形o1a1b1c1与矩形oabc重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．
5．（广东省河源市、梅州市）如图，△abc中，点p是边ac上的一个动点，过p作直线mn∥bc，设mn交∠bca的平分线于点e，交∠bca的外角平分线于点f．
1）求证：pe＝pf；
2）当点p在边ac上运动时，四边形bcfe可能是菱形吗？说明理由；
3）若在ac边上存在点p，使四边形aecf是正方形，且＝，求此时∠a的大小．
6．（广东省高州市学科竞赛暨重点中学提前招生考试）如图，在△abc中，∠abc为锐角，ab≠ac，∠bac≠90，d为线段bc上一点，连接ad，以ad为一边在ad的左侧作正方形adef，连结bf．
1）当bf⊥bc时，求∠abc的大小；
2）若ab＝，bc＝3，在（1）的条件下，设正方形adef的边de与线段bf相交于点p，当线段bp的长取最大值时，求正方形adef与△abc重叠部分的面积．
7．（广东省高州市学科竞赛暨重点中学提前招生考试）如图，在平面直角坐标系中，四边形oabc为矩形，点a、b的坐标分别为（12，0）、（12，6），直线y＝－x＋b与y轴交于点p，与边oa交于点d，与边bc交于点e．
1）若直线y＝－x＋b平分矩形oabc的面积，求b的值；
2）在（1）的条件下，当直线y＝－x＋b绕点p顺时针旋转时，与直线bc和x轴分别交于点n、m，问：是否存在on平分∠cnm的情况？若存在，求线段dm的长；若不存在，请说明理由；
3）在（1）的条件下，将矩形oabc沿de折叠，若点o落在边bc上，求出该点坐标；若不在边bc上，求将（1）中的直线沿y轴怎样平移，使矩形oabc沿平移后的直线折叠，点o恰好落在边bc上．
8．（广西桂林市）如图，过a（8，0）、b（0，）两点的直线与直线y＝x交于点c．平行于y轴的直线l从原点o出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，到c点时停止；l分别交线段bc、oc于点d、e，以de为边向左侧作等边△def，设△def与△bco重叠部分的面积为s（平方单位），直线l的运动时间为t（秒）．
1）直接写出c点坐标和t的取值范围；
2）求s与t的函数关系式；
3）设直线l与x轴交于点p，是否存在这样的点p，使得以p、o、f为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点p的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（广西梧州市）如图，在平面直角坐标系中，点a（10，0），∠oba＝90°，bc∥oa，ob＝8，点e从点b出发，以每秒1个单位长度沿bc向点c运动，点f从点o出发，以每秒2个单位长度沿ob向点b运动，现点e、f同时出发，当f点到达b点时，e、f两点同时停止运动．
1）求梯形oabc的高bg的长．
2）连接ef并延长交oa于点d，当e点运动到几秒时，四边形abed是等腰梯形．
3）动点e、f是否会同时在某个反比例函数的图像上？如果会，请直接写出这时动点e、f运动的时间t的值；如果不会，请说明理由．
10．（广西贺州市）如图①，在菱形abcd和菱形befg中，∠abc＝∠bef＝60°，点a、b、e在同一条直线上，p是线段df的中点，连结pg、pc．
1）求证：pg⊥pc，pg＝pc；
2）将图①中的菱形befg绕点b顺时针旋转，使菱形befg的对角线bf恰好与菱形abcd的边ab在同一条直线上，其他条件不变（如图②），1）中的结论仍然成立，请你说明理由；
3）若图①中∠abc＝∠bef＝α（0＜α＜180°），将菱形befg绕点b顺时针旋转任意角度，其他条件不变（如图③），判断pg与pc的位置关系和数量关系，并说明理由．
11．（广西钦州市）如图，将oa＝6，ab＝4的矩形oabc放置在平面直角坐标系中，动点m、n以每秒１个单位的速度分别从点a、c同时出发，其中点m沿ao向终点o运动，点n沿cb向终点b运动，当两个动点运动了t秒时，过点n作np⊥bc，交ob于点p，连接mp．
1）点b的坐标为用含t的式子表示点p的坐标为。
2）记△omp的面积为s，求s与t的函数关系式（0＜t＜6）；并求t为何值时，s有最大值？
3）试**：当s有最大值时，在y轴上是否存在点t，使直线mt把△onc分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△onc面积的？若存在，求出点t的坐标；若不存在，请说明理由．
12．（广西北海市）在矩形纸片abcd中，ab＝6，bc＝10，点e、f分别**段ab、bc上，将△bef沿ef折叠，点b落在b′ 处．
1）如图1，当b′ 在ad上时，求b′ 在ad上可移动的最大距离；
2）如图2，当b′ 在矩形abcd内部时，求bf的取值范围和ab′ 的最小值．
13．（广西北海市）如图，四边形abcd中，ad＝cd，∠dab＝∠acb＝90°，过点d作de⊥ac，垂足为f，de与ab相交于点e．
1）求证：ab·af＝bc·cd；
2）若ab＝15，bc＝9，p是射线de上的动点．设dp＝x，四边形bcdp的面积为s．
求s关于x的函数关系式；
当x为何值时，△pbc的周长最小，并求出此时s的值．
14．（广西来宾市）如图，四边形abcd为一梯形纸片，ad∥bc，ab＝dc．翻折纸片abcd，使点b与点d重合，折痕为ef．已知df⊥bc．
1）求证：ef∥ac；
2）若ad＝3，bc＝7，求折痕ef的长．
15．（广西来宾市）如图，已知直线y＝－2x＋b与双曲线y＝（k＞0且k≠2）相交于第一象限内的两点p（1，k）、q（，y2）．
1）求点q的坐标（用含k的代数式表示）；
2）过p、q分别作坐标轴的垂线，垂足为a、c，两垂线相交于点b．是否存在这样的k值，使得△opq的面积等于△bpq面积的二倍？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．
p、q两点请自己在图中标明）
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