☆ 九年级数学上册自学导案（8）
课题。一、 温故引新。
角平分线的定义。
用符号表达方式：如图1， oc是∠aob的平分线。
∠1=∠2（或∠aob=2∠1=2∠2或∠1=∠2=∠aob）．
二．明确目标：
1．掌握用角平分线定理及其逆定理进行几何证明；
2．掌握几种已知角平分线添加辅助线的方法：向角的两边作垂线，截长、补短等。
三．**新知：
一）自主**。
1．任意画出一个角的平分线，并在角平分线上任取一点，作出到角两边的距离．通过度量、观察并比较，猜想它们有怎样的数量关系？ 并证明你的猜想。
角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
表达方式：如图，∵ p是∠aob的平分线oc上一点，pd⊥oa于d，pe⊥ob于e，∴ pd＝pe
练习：（1）判断正误，并说明理由：
如图∵ p是∠aob的平分线如图 ∵ pd⊥oa于d，oc上任意一点pe⊥ob于e
∴ pd＝pepd＝pe．
2）填空：如图7，△abc中，∠c＝90°，bd平分∠abc，cd＝3cm，则点d到ab的距离为cm．
2．“在角平分线上的点”都具有“到角的两边距离相等”的性质，即角平分线上没有不具备此性质的点．那么，反过来会怎么样呢？写出这个定理的逆命题，并判断命题是真命题还是假命题？
命题：在一个角的内部，到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
已知：如图， pd⊥oa于d，pe⊥ob于e，pd＝pe．
求证：点p在∠aob的平分线上．
证明：作射线op
pd⊥oa于d，pe⊥ob于e， ∠odp=∠oep=90．
又∵ op=op, pd＝pe
△odp≌△oep(hl)．
∠dop=∠poe， 点p在∠aob的平分线上．
角平分线的判定定理：
在一个角的内部，且到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
表达方式：如图，∵ pd⊥oa于d，pe⊥ob于e，pd＝pe， 点p在∠aob的平分线上．
练习 ：如图12，已知∠b=∠c=90，m是bc中点，mn⊥ad，若∠1＝∠2，则∠3 ∠4．
3．角平分线的画法：
你能用什么方法作出∠aob的平分线oc？
可以用尺规作图，可以用折纸的方法，可以用几何画板．）
二)形成概念。
1．二定理的区别与联系：性质定理说明了角平分线上点的纯粹性，即：只要是角平分线上的点，它到此角两边一定等距离，而无一例外；判定定理反映了角平分线的完备性，即只要是到角两边距离相等的点，都一定在角平分线上，而绝不会漏掉一个。
实际应用中，前者用来证明线段相等，后者用来证明角相等（角平分线）
2．角的平分线是到角的两边距离相等的点的集合．
三)学以致用。
1．完成课本p32随堂练习。（作书上）
2．已知：如图，∠1＝∠2，cd⊥ab于d，be⊥ac于e，be、cd交于点o．
求证：oc=ob．
3．已知：如图pb、pc分别是△abc的外角平分线，相交于点p.求证：p在∠a的平分线上。
四、拓展与提高。
1．如图1，oc平分，p是oc上一点，d是oa上一点，e是ob上一点，且pd=pe，求证：。
2．已知：如图4-1，在△abc中，∠c＝2∠b，∠1＝∠2.求证：ab=ac+cd.
五．学后检测。
1.到一个角的两边距离相等的点都在。
2.∠aob的平分线上一点m ，m到 oa的距离为1.5 cm，则m到ob的距离为。
3.如图，∠aob=60°，cd⊥oa于d，ce⊥ob于e，且cd=ce，则∠doc
4.如图，在△abc中，∠c=90°,ad是角平分线，de⊥ab于e,且de=3 cm,bd=5 cm,则bc=__cm.
5.如图，cd为rt△abc斜边上的高，∠bac的平分线分别交cd、cb于点e、f，fg⊥ab，垂足为g，则cf___fg，∠1+∠3=__2+∠4=__3___4，ce___cf.
6.如图，已知ab、cd相交于点e，过e作∠aec及∠aed的平分线pq与mn，则直线mn与pq的关系是。
7.如右图，已知be⊥ac于e，cf⊥ab于f，be、cf相交于点d，若bd=cd.
求证：ad平分∠bac.
8.已知：如下图在△abc中，∠c=90°，ad平分∠bac，交bc于d，若bc=32，且bd∶cd=9∶7，求：d到ab边的距离。
9．如图7，∠b=∠c=90°，m是bc的中点，dm平分∠adc，求证：am平分∠dab.
六、学后反思。
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