专题训练(十) 与圆的切线有关的计算与证明。
方法归纳：1．已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题；
2．证明一条直线是圆的切线时，有两种情况：当直线与圆有公共点时，只需“连半径，证垂直”即可；当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，常运用“d＝r”进行判断，具体的做法是过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段的长等于半径即可．
1．如图，ab＝ac，ab是⊙o的直径，⊙o交bc于d，dm⊥ac于m.求证：dm与⊙o相切．
证明：法一：连接od.
ab＝ac，∴∠b＝∠c.
ob＝od，∴∠bdo＝∠b.∴∠bdo＝∠c.∴od∥ac.
dm⊥ac，∴dm⊥od.
dm与⊙o相切．
法二：连接od，ad.
ab是⊙o的直径，∴ad⊥bc.
ab＝ac，∴∠bad＝∠cad.
dm⊥ac，∠cad＋∠adm＝90°.
oa＝od，∴∠bad＝∠oda.
∠oda＋∠adm＝90°，即od⊥dm.
dm是⊙o的切线．
2．如图，o为正方形abcd对角线ac上一点，以o为圆心，oa长为半径的⊙o与bc相切于点m，与ab、ad分别相交于点e、f.求证：cd与⊙o相切．
证明：连接om，过点o作on⊥cd，垂足为n，⊙o与bc相切于m，∴om⊥bc.
正方形abcd中，ac平分∠bcd，又∵on⊥cd，om⊥bc，om＝on.∴n在⊙o上．
cd与⊙o相切．
3．(昆明西山区一模)已知ab是⊙o的直径，ac为弦，且平分∠bad，ad⊥cd，垂足为d.
1)求证：cd是⊙o的切线；
2)延长ab、dc交于点f，∠bfc＝30°，⊙o半径为3 cm，求ad的长．
解：(1)证明：连接oc.
ac平分∠bad，∠cao＝∠cad.
ad⊥cd，∠cad＋∠acd＝90°.∴cao＋∠acd＝90°.
又∵oa＝oc，∠cao＝∠oca.
∠oca＋∠acd＝90°，即∠ocd＝90°，oc⊥cd.
又∵oc为⊙o的半径，cd是⊙o的切线．
2)在rt△ocf中，oc＝3 cm，∠bfc＝30°，of＝2oc＝6 cm.
af＝of＋oa＝6＋3＝9(cm)．
在rt△afd中，∵∠f＝30°，ad＝af＝×9＝4.5(cm)．
4．如图，在⊙o中，ab是直径，ad是弦，∠ade＝60°，∠c＝30°.
1)判断直线cd是否为⊙o的切线，并说明理由；
2)若ad＝3，求⊙o的直径．
解：(1)cd是⊙o的切线．
理由：连接od，∠ade＝∠a＋∠c，∠ade＝60°，∠c＝30°，60°＝∠a＋30°，即∠a＝30°.
ao＝do，∴∠a＝∠ado＝30°.
∠ade＋∠ado＝∠edo＝60°＋30°＝90°.
od⊥ce.
cd是⊙o的切线．
2)连接bd.
ab是⊙o的直径，∠adb＝90°.
又∵∠a＝30°，ab＝2bd.
设bd＝x，则ab＝2x，在rt△adb中，由勾股定理，得。
4x2－x2＝(3)2.解得x＝3.
ab＝6.⊙o的直径为6.
5．(昆明官渡区二模)如图，已知ab为⊙o的直径，ac⊥ab于点a，bc与⊙o相交于点d，在ac上取一点e，使得ed＝ea.
1)求证：ed是⊙o的切线；
2)若oa＝3 cm，ae＝4 cm，求bc的长度．
解：(1)证明：连接od.
ed＝ea，∠eda＝∠ead.
od＝oa，∠oda＝∠oad.
ac⊥ab，∠oad＋∠ead＝∠bac＝90°.
∠oda＋∠eda＝90°，即∠ode＝90°，od⊥ed.
又∵od为⊙o的半径，ed是⊙o的切线．
2)∵ea、ed均为⊙o的切线，eo⊥ad.
∠bad＋∠aoe＝90°.
ab为⊙o的直径，∠adb＝90°.
∠bad＋∠abd＝90°.
∠aoe＝∠abd.
oe∥bc.
又∵o为ab的中点，oe为△bac的中位线．
bc＝2oe＝2×＝10(cm)．
6．(曲靖中考)如图，⊙o的直径ab＝10，c，d是圆上的两点，且＝＝.设过点d的切线ed交ac的延长线于点f.连接oc交ad于点g.
1)求证：df⊥af；
2)求og的长．
解：(1)证明：连接od.
＝＝ cad＝∠dab＝30°.
又oa＝od，∠oda＝∠dab＝30°.
∠oda＝∠fad.
od∥af.
又de是⊙o的切线，od⊥df.
df⊥af.
2)∵ab＝10，∴ao＝5.
＝ ，og⊥ad.
在rt△aog中，∠gao＝30°，og＝ao＝.
7．(黔西南中考)如图所示，点o在∠apb的平分线上，⊙o与pa相切于点c.
1)求证：直线pb与⊙o相切；
2)po的延长线与⊙o交于点e，若⊙o的半径为3，pc＝4.求弦ce的长．
解：(1)证明：过点o作od⊥pb，连接oc.
ap与⊙o相切，oc⊥ap.
又∵op平分∠apb，od＝oc.
pb是⊙o的切线．
2)过c作cf⊥pe于点f.
在rt△ocp中，op＝＝5.
s△ocp＝oc·cp＝op·cf，cf＝.
在rt△cof中，of＝＝.
fe＝3＋＝.
在rt△cfe中，ce＝＝.
第3课时切线长定理。
01 基础题。
知识点1 切线长定理。
1．如图，从⊙o外一点p引⊙o的两条切线pa，pb，切点分别为a，b.如果∠apb＝60°，pa＝8，那么弦ab的长是(b)
a．4 b．8 c．4 d．8
2．如图，已知以直角梯形abcd的腰cd为直径的半圆o与梯形上底ad，下底bc以及腰ab均相切，切点分别是d，c，e.若半圆o的半径为2，梯形的腰ab为5，则该梯形的周长是(d)
a．9b．10
c．12d．14
3．如图，pa，pb是⊙o的切线，切点分别是a，b，若pa＝6 cm，则pb＝6_cm．
4．如图，ab、ac、bd是⊙o的切线，p、c、d为切点，如果ab＝5，ac＝3，则bd的长为2.
5．如图，pa、pb是⊙o的切线，切点分别是a，b，若∠apb＝60°，oa＝2 cm，则op＝4_cm．
知识点2 三角形的内切圆。
6．如图，点o是△abc的内切圆的圆心，若∠bac＝80°，则∠boc＝(a)
a．130° b．120° c．100° d．90°
7．如图，在△abc中，点p是△abc的内心，则∠pbc＋∠pca＋∠pab＝90度．
8．已知在rt△abc中，∠c＝90°，ac＝6，bc＝8，则△abc的内切圆的半径为2．
9．如图△abc的内切圆⊙o与bc，ca，ab分别相切于点d，e，f，且ab＝18 cm，bc＝28 cm，ca＝26 cm，求af，bd，ce的长．
解：根据切线长定理，得。
ae＝af，bf＝bd，ce＝cd.
设af＝ae＝x cm，则ce＝cd＝(26－x)cm，bf＝bd＝(18－x)cm.
bc＝28 cm，(18－x)＋(26－x)＝28.解得x＝8.
af＝8 cm，bd＝10 cm，ce＝18 cm.
02 中档题。
10．一个钢管放在v形架内，如图是其截面图，o为钢管的圆心．如果钢管的半径为25 cm，∠mpn＝60°，那么op＝(a)
a．50 cmb．25 cm
c. cmd．50 cm
11．如图，已知⊙o是边长为2的等边△abc的内切圆，则⊙o的半径为．
12．如图，pa，pb分别与⊙o相切于点a，b，⊙o的切线ef分别交pa，pb于点e，f，切点c在上，若pa长为2，求△pef的周长．
解：根据题意得：ae＝ce，bf＝cf，pa＝pb，△pef的周长＝pe＋ce＋cf＋pf＝pe＋ae＋bf＋pf＝pa＋pb＝4.
13．如图所示，点i为△abc的内心，点o为△abc的外心，若∠boc＝140°，求∠bic的度数．
解：∵点o为△abc的外心，∠boc＝140°，∠a＝70°.
又∵点i为△abc的内心，∠bic＝125°.
03 综合题。
14．某新建小区要在一块等边三角形的公共区域内修建一个圆形花坛．
1)若要使花坛面积最大，请你在这块公共区域(如图1)内确定圆形花坛的圆心p；
2)如图2，若这个等边三角形的边长为18米，请计算出花坛的面积．
解：(1)要使花坛面积最大，因三角形为等边三角形，在△abc内作一个内切圆，则此圆面积最大，点p为角平分线的交点，如图1所示．
2)在rt△bod中，bd＝9米，∠obd＝30°，设od＝x，则ob＝2x，根据勾股定理，得。
x2＋92＝(2x)2.
解得x＝3.
od＝3米．
花坛面积为π·(3)2＝27π(平方米)．
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