第一讲、一类忽视条件出现的错误。
对江苏刊物《初中数学教与学》2024年2期第14页《用方程思想解代数问题》（江苏省兴化市城南中学张德康）中一例因思维欠慎密而出现的错误，略淡代数中一类易忽视的问题，加以**。
原题解法如下：
例；已知，证明：b+c=2a。
解：由已知得。
由此可知，方程（a－b）x2+(b－c)x+(c－a)=0有两相等实数根。
（a－b）+(b－c)+(c－a)=0
故上述方程有一个根为1，则另一根也为1。
此种证法新颖独特，但在构造方程时忽视一元一次方程的概念二次项数不为0。事实上，a与b是可以相等的，即当a=b=c时，结论成立，因此应分两种情况证明：（1）当a=b=c时；（2）当a、b、c互不相等时，象这样忽视条件而出现的错误还有很多：
一、忽视法则，概念存在的条件：
1、若。2、若的值。
3、把根号外的因式移到根号内： =
4、若分式的值为0，则x的值为（ ）
a、－3 b、3 c 、±3 d、以上结论都不对。
二、忽视“根的判别式及韦达定理”应用的条件：
1、若方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是。
2、已知关于x的方程：x2+2(m－2)x+m2+4=0有两个实数根，且两根平方和比两根的积大21，求的值。
3、已知方程 m2x2+(2m+1)x+1=0有实数根，求m的取值范围。
4、设是方程的两根，不解方程，求的值。
5、求使方程：x2+(m+2)x+(m+5)=0至少有一个根是正数的实数m.
三、忽视“图形中的对称性”：图形的平移（位置关系）
1、⊙o的半径是5cm，弦ab∥cd，ab=6cm，cd=8cm，求ab分cd间的距离。（初中几何教版第三册，第85页）
2、已知：⊙o1和⊙o2相交于a、b两点，公共弦ab与连心线o1o2交于g，若ab=48cm，⊙o1的半径为30cm, ⊙o2的半径为40cm，求o1o2的长度。
错误辩析：大多学生只画出一种图形：还有另一种情形：
3、已知：⊙o1与⊙o2相切于p，⊙o1的半径为15cm，⊙o2的半径为15cm，求o1o2的长。
4、在△abc中，d为ab上一点，在ac上找一点e使得△ade与△abc相似。
错误辩析：许多同学只想到由平行线构造相似三角形即过d点作de∥bc，交ac于e点，如图：得△ade∽△abc还有另一种情形，作∠ade=∠c，如图：则可得到△ade∽△acb。
四、忽视“位置关系”（符合条件）；
1、某人乘船从a顺流而下到b地，然后逆流而上到c地，共乘船4小时，已知船在静水中的速度为每小时7.5千米，水流速为每小时2.5千米，若ac的距离为10千米，求ab两地的距离。
错解：设ab两地相距x千米，依据如下图位置关系则列方程：
解得：x=20（千米）
错误辩析：产生错误的原因为：把返回时的c地放在ab间，即不过a点，符合题意的位置关系还有如下图：
可列方程：
解得：（千米）
所以ab两地间的距离为20千米或千米。
2、甲乙两人分别从相距30千米的ab两地同时相向而行，经过3小时后，相距3千米，再过 2小时，甲到b地所剩的距离是乙到a地所剩的距离的2倍，求甲、乙两人的速度。
错误辩析：许多同学把“3小时后相距3千米”，错误地理解为：相遇之间相距3千米（没有相遇）如图1）
事实上符合题意的位置关系还有：“相遇后相距3千米”如图：
正确解答为：
解：设甲速为x千米/时，乙速为y千米/时，则。
1）若“3小时后，没有相遇时相距3千米”则列方程组：
解得。（2）若“3小时后，已相遇再相距3千米”则列方程组：
解得。综上所述，我们在做题之前，一定要仔细而又周密地考虑符合题目条件的各种可能情形，要诚意尽无遗漏地求出其结果，不合题意的予以剔除；题目无解时要说明理由；含有参数的问题，要对参数的取值范围进行全面的讨论；对结论要检验的，一定要进行检验，检验分两种：符合题意和符合实际意义。
只有这样充分挖掘隐含条件，缜密思考问题，才能正确地解答每一道题，从而练就扎实的数学基础知识和基本技能，培养灵活的数学思想方法和严谨的数学思维能力。
练习题：一、容易漏解的题目。
1．一个数的绝对值是5，则这个数是数的绝对值是它本身．
2的倒数是它本身的立方是它本身．
3．关于的不等式的正整数解是1和2；则的取值范围是。
4．不等式组的解集是，则的取值范围是。
5．若，则。
6．当为何值时，函数是一个一次函数．
7．若一个三角形的三边都是方程的解，则此三角形的周长是。
8．若实数、满足，，则___
9．在平面上任意画四个点，那么这四个点一共可以确定___条直线．
10．已知线段=7cm，在直线上画线段=3cm，则线段=__
11．一个角的两边和另一个角的两边互相垂直，且其中一个角是另一个角的两倍少，求这两个角的度数．
12．三条直线公路相互交叉成一个三角形，现在要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有___处？
13．等腰三角形一腰上的高与腰长之比为，则该三角形的顶角为___
14．等腰三角形的腰长为，一腰上的高与另一腰的夹角为，则此等腰三角形底边上的高为___
15．矩形的对角线交于点．一条边长为1，是正三角形，则这个矩形的周长为___
16．梯形中，，，7cm， =3cm，试在边上确定的位置，使得以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似．
17．已知线段=10cm，端点、到直线的距离分别为6cm和4cm，则符合条件的直线有___条．
18．过直线外的两点、，且圆心在直线的上圆共有___个．
19．在中，，，以为圆心，以为半径的圆，与斜边只有一个交点，求的取值范围．
20．直角坐标系中，已知，在轴上找点，使为等腰三角形，这样的点共有多少个？
21．在同圆中，一条弦所对的圆周角的关系是。
22．圆的半径为5cm，两条平行弦的长分别为8cm和6cm，则两平行弦间的距离为___23．两同心圆半径分别为9和5，一个圆与这两个圆都相切，则这个圆的半径等于多少？
24．一个圆和一个半径为5的圆相切，两圆的圆心距为3，则这个圆的半径为多少？
25．切⊙o于点，是⊙o的弦，若⊙o的半径为1，，则的长为___26．、是⊙o的切线，、是切点，，点是上异于、的任意一点，那么___
27．在半径为1的⊙o中，弦，，那么___
二、容易多解的题。
28．已知，则___
29．在函数中，自变量的取值范围为___
30．已知，则___
31．当为何值时，关于的方程有两个实数根．
32．当为何值时，函数是二次函数．
33．若，则？．
34．方程组的实数解的组数是多少？
35．关于的方程有实数解，求的取值范围．
36．为何值时，关于的方程的两根的平方和为23？
37．为何值时，关于的方程的两根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦值？．
38．若对于任何实数，分式总有意义，则的值应满足___
39．在中，，作既是轴对称又是中心对称的四边形，使、、分别在、、上，这样的四边形能作出多少个？
40．在⊙o中，弦=8cm，为弦上一点，且=2cm，则经过点的最短弦长为多少？
41．两枚硬币总是保持相接触，其中一个固定，另一个沿其周围滚动，当滚动的硬币沿固定的硬币滚动一周，回到原来的位置，滚动的那个硬币自转的圈数为___
三、容易误判的问题：
1．两条边和其中一组对边上的高对应相等的两个三角形全等。
2．两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等。
3．两角及其对边的和对应相等的两个三角形全等。
4．两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等。
第二讲配方法。
1. 配方：这里指的是在代数式恒等变形中，把二次三项式a2±2ab+b2写成完全平方式。
a±b）2. 有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式。
常用的有以下三种：
由a2+b2配上2ab， ②由2 ab配上a2+b2， ③由a2±2ab配上b2.
2. 运用配方法解题，初中阶段主要有：
1 用完全平方式来因式分解。
例如：把x4+4 因式分解。
原式＝x4+4＋4x2－4x2=(x2+2)2－4x2＝……
这是由a2+b2配上2ab.
2 二次根式化简常用公式：，这就需要把被开方数写成完全平方式。
例如：化简。
我们把5－2写成 2－2＋3
这是由2 ab配上a2+b2.
3 求代数式的最大或最小值，方法之一是运用实数的平方是非负数，零就是最小值。即∵a2≥0， ∴当a=0时， a2的值为0是最小值。
例如：求代数式a2+2a－2 的最值。
a2+2a－2= a2+2a+1－3=(a+1)2－3 当a=－1时， a2+2a－2有最小值－3.
这是由a2±2ab配上b2
4 有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，有时就需要配方。
例如：：求方程x2+y2+2x-4y+5=0 的解x, y.
解：方程x2+y2+2x-4y+1＋4＝0. 配方可化为 （x+1）2+(y－2)2=0.
要使等式成立，必须且只需。 解得
此外在解二次方程中应用根的判别式，或在证明等式、不等式时，也常要有配方的知识和技巧。
例题。例1. 因式分解：a2b2－a2+4ab－b2+1.
例2. 化简下列二次根式：
例3. 求下列代数式的最大或最小值：
① x2+5x+12x2－6x+1 .
例4. 解下列方程：
x4－x2+2xy+y2+1=0x2+2xy+6x+2y2+4y+10=0.
九年级数学配方法及公式法检测题
23.2.2 配方法及公式法。回顾归纳。1 通过配方，把方程的一边化为 另一边化为 然后利用开平方法解方程，这种方法叫配方法，如ax2 bx c 0 a 0 配方得a x 2 2 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 运用公式法求解的方法叫做公式法，求根公式x 课堂测控。测试点1 配方法。1 1...
九年级数学辅导
九年级数学上辅导资料 二 解答题。1 如图，已知ab ac，ad是中线，be cf 1 求证 bde cof 2 当 b 60 时，过ab的中点g，作gh bd，求证 gh ab 2 如图，中，为中线 现将一直角三角板的直角顶点放在点上并绕点旋转，若三角板的两直角边分别交的延长线于点 1 试写出图中...
九年级数学辅导
1 一元二次方程的解是 ab c d 2 顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是 a 平行四边形 b 菱形 c 矩形 d 正方形。3 图中所示几何体的俯视图是。4 在李咏主持的 幸运52 栏目中，曾有一种竞猜游戏，游戏规则是 在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖金，其余商标牌的...