8.2 双曲线。
知识梳理。思考讨论
对于焦点在y轴上的双曲线－=1（a＞0，b＞0），其性质如何？焦半径公式如何推导？
点击双基。1.（2023年春季北京）双曲线－=1的渐近线方程是。
解析：由双曲线方程可得焦点在x轴上，a=2，b=3.
渐近线方程为y=±x=±x.
答案：a2.过点（2，－2）且与双曲线－y2=1有公共渐近线的双曲线方程是。
a.－=1b.－=1
c.－=1d.－=1
解析：可设所求双曲线方程为－y2=λ，把（2，－2）点坐标代入方程得λ=－2.
答案：a3.如果双曲线－＝1上一点p到它的右焦点的距离是8，那么p到它的右准线距离是。
a.10bc.2d.
解析：利用双曲线的第二定义知p到右准线的距离为=8×=.
答案：d4.已知圆c过双曲线－=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是。
解析：由双曲线的几何性质易知圆c过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆c的圆心的横坐标为4.故圆心坐标为（4，±）易求它到中心的距离为。
答案： 5.求与圆a：（x+5）2+y2=49和圆b：（x－5）2+y2=1都外切的圆的圆心p的轨迹方程为。
解析：利用双曲线的定义。
答案：－=1（x＞0）
典例剖析。例1】 根据下列条件，求双曲线方程：
1）与双曲线－=1有共同的渐近线，且过点（－3，2）；
2）与双曲线－=1有公共焦点，且过点（3，2）.
剖析：设双曲线方程为－=1，求双曲线方程，即求a、b，为此需要关于a、b的两个方程，由题意易得关于a、b的两个方程。
解法一：（1）设双曲线的方程为－=1，=1，
解得a2=，b2=4.
所以双曲线的方程为－=1.
2）设双曲线方程为－=1.
由题意易求c=2.
又双曲线过点（3，2），－1.
又∵a2+b2=（2）2，a2=12，b2=8.
故所求双曲线的方程为－=1.
解法二：（1）设所求双曲线方程为－＝λ0），将点（－3，2）代入得λ＝，所以双曲线方程为－＝.
2）设双曲线方程为－＝1，将点（3，2）代入得k=4，所以双曲线方程为－＝1.
评述：求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用。若已知双曲线的渐近线方程ax±by=0，可设双曲线方程为a2x2－b2y2=λ（0）.
例2】 （2023年全国，19）设点p到点m（－1，0）、n（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围。
剖析：由|pm|－|pn|=2m，得||pm|－|pn||=2|m|.知点p的轨迹是双曲线，由点p到x轴、y轴距离之比为2，知点p的轨迹是直线，由交轨法求得点p的坐标，进而可求得m的取值范围。
解：设点p的坐标为（x，y），依题意得=2，即y=±2x（x≠0
因此，点p（x，y）、m（－1，0）、n（1，0）三点不共线，得||pm|－|pn|| ||pm|－|pn||=2|m|>0，0<|m|<1.因此，点p在以m、n为焦点，实轴长为2|m|的双曲线上。 故－=1. ② 将①代入②，并解得x2=，1－m2>0，∴1－5m2>0. 解得0<|m|<，即m的取值范围为（－，0）∪（0，）. 评述：本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识，考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力。解决此题的关键是用好双曲线的定义。 例3】 如下图，在双曲线－=1的上支上有三点a（x1，y1），b（x2，6），c（x3，y3），它们与点f（0，5）的距离成等差数列。 1）求y1+y3的值； 2）证明：线段ac的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标。 剖析：可以验证f为焦点，利用第二定义可得三点到准线的距离也成等差数列，进而有三点纵坐标成等差数列，由此易得y1+y3的值。为求出ac的中垂线所过定点，不妨设想作出a与c关于y轴的对称点a′与c′. 由双曲线的对称性，易知a′与c′也在双曲线上，且a′、b、c′满足题设条件，所以a′c′的中垂线也应过此定点。由两条中垂线关于y轴对称。所以定点应在y轴上。 1）解：c==5，故f为双曲线的焦点，设准线为l，离心率为e，由题设有2|fb|=|fa|+|fc|. 分别过a、b、c作x轴的垂线aa2、bb2、cc2，交l于a1、b1、c1，则由双曲线第二定义有|fb|=e|bb1|，|fa|=e|aa1|，|fc|=e|cc1|，代入①式，得2e|bb1|=e|aa1|+e|cc1|，即2|bb1|=|aa1|+|cc1|. 于是两边均加上准线与x轴距离的2倍，有。 2|bb2|=|aa2|+|cc2|，此即2×6=y1+y3，可见y1+y3=12. 2）证明：ac的中垂线方程为。 y－=－x－），即y－6=－x 由于a、c均在双曲线上，所以有－=1，－=1. 相减得=.于是有。 （y1+y3）=·12=13，故②变为y=－x+，易知此直线过定点d（0，）. 评述：利用第二定义得焦半径，可使问题容易解决。中垂线过弦ac的中点，中点问题往往把a、c的坐标代入方程，两式相减、变形，即可解决问题。 闯关训练。夯实基础。 1.（2023年天津，4）设p是双曲线－=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y=0，f1、f2分别是双曲线的左、右焦点。若|pf1|=3，则|pf2|等于。 a.1或5b.6c.7d.9 解析：由渐近线方程y=x，且a=2，b=3.据定义有|pf2|－|pf1|=4，|pf2|=7. 答案：c2.（2023年春季北京，5）“ab<0”是“曲线ax2+by2=1为双曲线”的。 a.充分不必要条件。 b.必要不充分条件。 c.充分必要条件。 d.既不充分又不必要条件。 解析：由ab<0，得a>0，b<0或a<0，b>0. 由此可知a与b符号相反，则方程表示双曲线，反之亦然。 答案：c3.（2023年上海）给出问题： f1、f2是双曲线－=1的焦点，点p在双曲线上。若点p到焦点f1的距离等于9，求点p到焦点f2的距离。某学生的解答如下： 双曲线的实轴长为8，由||pf1|－|pf2||=8，即|9－|pf2||=8，得|pf2|=1或17. 该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上。 解析：易知p与f1在y轴的同侧，|pf2|－|pf1|=2a，∴|pf2|=17. 答案：|pf2|=17 4.过点a（0，2）可以作条直线与双曲线x2－＝1有且只有一个公共点。 解析：数形结合，两切线、两交线。 答案：45.已知双曲线的方程是16x2－9y2=144. 1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程； 2）设f1和f2是双曲线的左、右焦点，点p在双曲线上，且|pf1|·|pf2|=32，求∠f1pf2的大小。 解：（1）由16x2－9y2=144得－=1，a=3，b=4，c=5.焦点坐标f1（－5，0），f2（5，0），离心率e=，渐近线方程为y=±x. 2）||pf1|－|pf2||=6，cos∠f1pf2= ∠f1pf2=90°. 6.已知双曲线x2－=1与点p（1，2），过p点作直线l与双曲线交于a、b两点，若p为ab中点。 1）求直线ab的方程； 2）若q（1，1），证明不存在以q为中点的弦。 1）解：设过p（1，2）点的直线ab方程为y－2=k（x－1），代入双曲线方程得。 2－k2）x2+（2k2－4k）x－（k4－4k+6）=0. 设a（x1，y1），b（x2，y2），则有x1+x2=－，由已知=xp=1，=2.解得k=1. 又k=1时，δ=16＞0，从而直线ab方程为x－y+1=0. 2）证明：按同样方法求得k=2，而当k=2时，δ＜0，所以这样的直线不存在。 培养能力。7.双曲线kx2－y2＝1，右焦点为f，斜率大于0的渐近线为l，l与右准线交于a，fa与左准线交于b，与双曲线左支交于c，若b为ac的中点，求双曲线方程。 解：由题意k＞0，c=，渐近线方程l为y=x，准线方程为x=±，于是a（，）直线fa的方程为 y=，于是b（－， 由b是ac中点，则xc=2xb－xa＝－，yc=2yb－ya＝. 将xc、yc代入方程kx2－y2＝1，得。 k2c4－10kc2＋25＝0. 解得k（1+）＝5，则k＝4. 所以双曲线方程为4x2－y2＝1． 8.（理）已知l1、l2是过点p（－，0）的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线y2－x2＝1各有两个交点，分别为a1、b1和a2、b2. 教学设计。课题名称执教教师学科。姬圣楠英语。colours 学校名称学段。小学。商丘市前进小学。课时安排。1课时。一 学情分析。三年级的学生大多是刚开始接触英语，对英语有着浓厚的学习兴趣，同时对色彩有着较强的敏感程度，本课内容更容易引起学生的兴趣。针对学生的年龄及本课的教学内容，我把学生上一单元学过... 精品文档。人教版三年级数学下册 年 月 日 教。学设计。人教版三年级数学下册 年 月 日 教学设计设计理念 充分利用学生已有的基础。有效的数学课堂需要认真对待学生的认识基础。有关年 月 日的知识，在课堂上学生虽然没有系统学习过，但在生活实际中学生已积累了很多经验，因此，教学中，充分利用学生已有的经验... 年月日 教学设计。教学目标 1 知识目标 认识时间单位年 月 日，能辨别大月与小月的知识，记住各月及全年的天数 在合作交流中发现二月份的特殊性，初步学会判断平年还是闰年。2 能力目标 培养认真观察 归纳概括以及自主学习的能力，促进思维的发展。3 情感目标 积极参与数学学习活动，感受到生活中处处有数学...英语人教版三年级上册Colours教学设计
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