一．选择题。
1．关于x的函数y=k（x+1）和y=（k≠0）在同一坐标系中的图象大致是（ ）
2．如图，在平面直角坐标系中，点a是x轴正半轴上的一个定点，点p是双曲线y=（x＞0）上的一个动点，pb⊥y轴于点b，当点p的横坐标逐渐增大时，四边形oapb的面积将会（ ）
3．教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间（min）的关系如图，为了在上午第一节下课时（8：45）能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的（ ）
4．如图，是反比例函数在第二象限的图象，则k的可能取值是（ ）
5．如图，点p是反比例函数的图象上的任意一点，过点p分别作两坐标轴的垂线，与坐标轴构成矩形oapb，点d是矩形oapb内任意一点，连接da、db、dp、do，则图中阴影部分的面积是（ ）
6．如图，在△oab中，c是ab的中点，反比例函数y= （k＞0）在第一象限的图象经过a、c两点，若△oab面积为6，则k的值为（ ）
二．解答题。
7．端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0＜m＜1）元．
1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出只粽子，利润为元．
2）在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？
8．某市2024年国民经济和社会发展统计公报显示，2024年该市新开工的住房有商品房、廉租房、经济适用房和公共租赁房四种类型．老王对这四种新开工的住房套数和比例进行了统计，并将统计结果绘制成下面两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：
1）求经济适用房的套数，并补全图1；
2）假如申请购买经济适用房的对象中共有950人符合购买条件，老王是其中之一．由于购买人数超过房子套数，购买者必须通过电脑摇号产生．如果对2024年新开工的经济适用房进行电脑摇号，那么老王被摇中的概率是多少？
3）如果计划2024年新开工廉租房建设的套数要达到720套，那么2013～2014这两年新开工廉租房的套数的年平均增长率是多少？
9．己知：如图，在菱形abcd中，点e、f分别在边bc、cd，∠baf=∠dae，ae与bd交于点g．
1）求证：be=df；
2）当=时，求证：四边形befg是平行四边形．
10如图，ad为边bc边上中线，e为ad的中点，连be交ac于f，则af：ac
1）若ae：ed=1：2，则af：ac
2）若ae：ed=1：3，则af：ac并证明．
3）若ae：ed=1：n，猜想af：ac
11．在直角梯形abcd中．∠a=90°，ad=7 ab=2 dc=3 p为ad上一点，以p、a、b的顶点的三角形与p、d、c为顶点的三角形相似，那么这样的点p有几个？为什么？
12．已知：如图，在平行四边形abcd中，e、f分别是边bc，cd上的点，且ef∥bd，ae、af分别交bd与点g和点h，bd=12，ef=8．求：
1）的值；2）线段gh的长．
13．已知：在梯形abcd中，ad∥bc，∠abc=90°，bc=2ad，e是bc的中点，连接ae、ac．
1）点f是dc上一点，连接ef，交ac于点o（如图1），求证：△aoe∽△cof；
2）若点f是dc的中点，连接bd，交ae与点g（如图2），求证：四边形efdg是菱形．
14．一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2=0．
1）若方程有两实数根，求m的范围．
2）设方程两实根为x1，x2，且|x1﹣x2|=1，求m．
15．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2=0
1）求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根．
2）k为何值，方程的两根之积等于6．
3）若△abc的两边ab，ac的长度是该方程的两个根，第三边bc=5，问：k为何值时，△abc是等腰三角形，并求出此时△abc的周长．
16．如图，一次函数y=﹣x+2的图象与反比例函数y=﹣的图象交于a、b两点，与x轴交于d点，且c、d两点关于y轴对称．
1）求a、b两点的坐标；
2）求△abc的面积．
17．小文到公园游玩．看到公园的一段人行弯道mn（不计宽度），如图，它与两面互相垂直的围墙op、oq之间有一块空地mpoqn（mp⊥op，nq⊥oq），他发现弯道mn上任一点到两边围墙的垂线段与围墙所围成的矩形的面积都相等，比如：a、b、c是弯道mn上的三点，矩形adog、矩形beoh、矩形cfoi的面积相等．爱好数学的他建立了平面直角坐标系（如图），图中三块阴影部分的面积分别记为s1、s2、s3，并测得s2=6（单位：平方米）．og=gh=hi．
1）求s1和s3的值；
2）设t（x，y）是弯道mn上的任一点，写出y关于x的函数关系式；
3）公园准备对区域mpoqn内部进行绿化改造，在横坐标、纵坐标都是偶数的点处种植花木（区域边界上的点除外），已知mp=2米，nq=3米．问一共能种植多少棵花木？
18．如图，p是反比例函数y=（k＞0）的图象上的任意一点，过p作x轴的垂线，垂足为m，已知s△opm=3．
1）求k的值；
2）若直线y=ax（a＞0）与上述反比例图象在第三象限交于一点a，q为反比例函数图象上一点，过q作y轴的垂线，垂足为n（0，3）．假设四边形aoqn的面积为21，求a的值．
19．如图，在平面直角坐标系上，△abc的顶点a和c分别在x轴、y轴的正半轴上，且ab∥y轴，ab=3，△abc的面积为．
1）求点b的坐标；
2）将△abc以点b为旋转中心顺时针方向旋转90° 得到△dbe，一反比例函数图象恰好过点d时，求反比例函数解析式．
20．如图，一次函数y1=k1x+b与反比例函数的图象相交于a，b两点，且与坐标轴的交点为（﹣6，0），（0，6），点b的横坐标为﹣4．
1）试确定反比例函数的解析式；
2）求aob的面积；
3）直接写出不等式的解．
21．如图，已知直线l分别与x轴、y轴交于a、b两点，与双曲线y=（a≠0，x＞0）分别交于c（4，1）、d（1，4）两点．
1）分别求直线l和双曲线的解析式；
2）若将直线l向下平移m（m＞0）个单位，当m为何值时，直线l与双曲线有且只有一个交点？
22．已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b （a≠0）的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象交于。
一、三象限内的a，b两点，与x轴交于c点，点a的坐标为（2，4），点b的坐标为（n，﹣2）．
1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
2）在x轴上有一点e（o点除外），使得△bce与△bco的面积相等，求出点e的坐标．
23．关于x的一元二次方程x2+（2k﹣3）x+k2=0有两个不相等的实数根α、β
1）求k的取值范围；
2）若α+β6，求（α﹣2+3αβ﹣5的值．
24．△abc和△def是两个等腰直角三角形，∠a=∠d=90°，△def的顶点e位于边bc的中点上．
1）如图1，设de与ab交于点m，ef与ac交于点n，求证：△bem∽△cne；
2）如图2，将△def绕点e旋转，使得de与ba的延长线交于点m，ef与ac交于点n，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．
25．如图，已知四边形abcd是平行四边形．
1）求证：△mef∽△mba；
2）若af、be分别是∠dab，∠cba的平分线，求证：df=ec．
26．如图，已知在直角梯形abcd中，ad∥bc，ab⊥bc，ad=11，bc=13，ab=12．动点p、q分别在边ad和bc上，且bq=2dp．线段pq与bd相交于点e，过点e作ef∥bc，交cd于点f，射线pf交bc的延长线于点g，设dp=x．
1）求的值．
2）当点p运动时，试**四边形efgq的面积是否会发生变化？如果发生变化，请用x的代数式表示四边形efgq的面积s；如果不发生变化，请求出这个四边形的面积s．
3）当△pqg是以线段pq为腰的等腰三角形时，求x的值．
27．如图：已知在平行四边形abcd中，e是ad上一点，ce与bd相交于点o，ce与ba的延长线相交于点g，已知de=2ae，ce=10．
求ge、co的长．
28．如图，在△abc中，bd为高，bd=8cm，cd=4cm，ad=6cm，点m、n分别为ac和ab上的动点，点m以2cm/s的速度自c向a方向作匀速运动，点n以每秒5cm/s的速度自a向b沿射线ab方向作匀速运动，mn交bd于点p． m、n两点同时运动，当点m运动到点a时，m、n两点停止运动，设运动的时间为t（s）．
1）求线段ab的长；
2）当t=1（s）时，求的值；
3）当t为何值时，△bnp是等腰三角形？
29．如图，在梯形abcd中，ad∥bc，对角线ac、bd交于点o，点e在ab上，且eo∥bc，已知ad=3，bc=6．求eo的长．
30．如图，已知在△abc中，d是bc上一点，e为ad的中点，be的延长线交ac于f，gd∥ac交be于g．
九年级辅优
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九年级数学竞赛试题附答案
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