2023年01月12日必修四2数学试卷14
一、选择题。
1.设点是线段的中点，点在直线外， ,则( )
a.8b.4c.2d.1
2.平面上有三点， ,设， ,若，的长度恰好相等，则有( )
a., 三点必在同一直线上b.必为等腰三角形且为顶角。
c.为直角三角形且d.必为等腰直角三角形。
3在中，已知是边上一点，若，则( )
a. bc. d.
4.已知向量，且， ,则一定共线的三点是( )
a. bcd.
5.若一个人向东走，而后又向南走，则这个人的合位移表示( )
a.向东南走 b.向东南走 c.向东北走 d.向东北走。
6.设，是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为( )
a.①②b.①③c.①③d.③④
7.为非零向量，且，则( )
a.,且与方向相同 b.是共线向量且方向相反。
cd.无论什么关系均可。
8.命题：①若向量，则必与，之一方向相同；②若非零向量， ,满足，则以，和为长度的三条线段必能构成三角形；③和实数的绝对值一样，向量也满足。其中正确的有( )
a.1个b.2个c.3个d.4个。
9.为正六边形的中心， ,则( )
a. b. cd.
10.若向量与向量不共线，则下列关系式成立的是( )
a. b.
cd. 二、填空题。
11.化简。
12.若，均为非零向量，那么使成立的条件是。
13.如图所示，、、分别是、、的中点，则用图中标注的向量表示出来)
14.已知， ,若， ,且，则。
15.长度相等的三个非零向量， ,满足，则由、、三点所连线段构成的是三角形。
三、解答题。
16.如图，**段上，且，求证：.
17.设向量， ,求。
18.已知向量比较与的大小。
19.如图所示，已知向量不共线，求作向量。
20.如下图所示，为内一点，交于，交于，交于求：
21.两个非零向量与满足什么条件时，?
22.已知向量， ,求的最大值和最小值。
23.已知， ,且恒成立，求的取值范围。
四、证明题。
24.证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
25.已知是不共线的三点，是内一点，若，求证：是的重心。
14.参***。
一、选择题。
1.答案：c
解析：∵,又，∵为中点，∴,
2.答案：c
解析： 如图所示，作平行四边形，其中， ,平行四边形是矩形，∴为直角三角形且。
答案： a解析： ∵即得，由已知条件。
可得，故选a.
4.答案：a
解析：∵,三点共线。
5.答案：a
解析：根据物理中位移的平行四边形法则，易知选a.
6.答案：c
解析：.由的性质知，①③正确。
点评】向量加法的三角形法则的特点是“首尾相连".
7.答案：a
解析：由不等式取等号时的条件可知。
8.答案：a
解析： ①当，长度相等方向相反时， ,方向任意；②,共线时，不能；③正确。故只有③正确
9.答案：c
解析： 由正六边形的几何性质知，故选c.
10.答案：c
解析：考查对关系式的理解。当与不共线时，如下图所示，设，作平行四边形，设。
在中， ,即；,即。在中， ,即， ,即。
二、填空题。
11.答案：0
解析： 12.答案：,的方向相同，并且
解析：13.答案：
解析：.14.答案：13
解析： 利用向量减法的三角形法则知，是的斜边长，由勾股定理得。
15.答案：等边。
解析：如图，作，的和向量，∵,又∵,∴是等边三角形，四边形是菱形，∴.同理：,∴即时等边三角形。
三、解答题。
16.证明：∵,
17.答案： 原式。
解析：18.答案：(1)当至少有一个为零向量时，有。
2)①当为非零向量，且不共线时有；
当为非零向量，且同向共线时有；
当为非零向量，且异向共线时有。
综上所述：.
解析：【点评】(1)解答本题可利用向量加法的三角形法则作出图形辅助解答；(2)解答本题的关键是准确、恰当地做好分类。
19.答案：解法一：如图(1)示，在平面内任取一点，作，则，再做，则。
解法二：如图(2)示，在平面内任取一点，作，则，再作，则，连接，则。
解析：20.答案：1..
解析：21.答案：由图可知，.即当与垂直时，才有。
解析：22.答案：解法一：
由可得：此时与同向；
此时与反向。
解法二：1)不共线时，连接三点所得线段可构成三角形，由两边之和大于第三边及两边之差小于第三边可得。
2)当共线时，要分同向和反向两种情况来看： 若向量同向，则可得；若向量反向， 则。
综上可得，的最大值为10,最小值为2.
解析：23.答案：∵,要使恒成立，只要，即， ,或。
解析：四、证明题。
24.答案：如图所示，由题设知， ,而，.
即，故与平行且长度相等。
所以四边形是平行四边形。
解析：25.答案：由于，则，即是与方向相反且长度相等的向量。
如下图所示，以为相邻的两边作平行四边形则，∴.
在平行四边形中，设与相交于，则，∴是的边上的中线，且，点是的重心，即证。
解析：要证明是的重心，即证是各边中线的交点，可联系重心的性质证之。
点评】(1)此例是的重心的一条重要性质， 在解题时经常用到，应准确记忆，其逆命题也成立，请你不妨证一证。
2)用向量方法证明几何题，具有几何的直观性、表述的简洁性。
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