广东省广州市2023年初中毕业生学业考试。
数学答案解析。
第一部分。一、选择题。
1.【答案】b
解析】，的倒数是。
提示】根据乘积是1的两个数互为倒数解答。
考点】实数的性质。
2.【答案】a
解析】由“上加下减”原则可知，将二次函数的图像向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为：.
提示】直接根据上加下减的原则进行解答即可。
考点】二次函数图像与几何变换。
3.【答案】d
解析】由于主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，由俯视图为三角形，可得为棱柱体，所以这个几何体是三棱柱。
提示】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形。
考点】由三视图判断几何体。
4.【答案】c
解析】解：a．，故此选项错误；
b．与不是同类项，不能合并，故此选项错误；
c．，故此选项正确；
d．，故此选项错误；
故选：c．提示】根据合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；去括号法则：
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反，进行计算，即可选出答案。
考点】去括号与添括号，合并同类项。
5.【答案】c
解析】解：，，四边形是平行四边形，，，四边形是等腰梯形，，梯形的周长为：
故选c．提示】由，，即可得四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，即可求得的长，继而求得的长，由等腰梯形，可求得的长，继而求得梯形周长。
考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定与性质。
6.【答案】b
解析】解：根据题意得，，，解得，，所以，.
故选b．提示】根据非负数的性质列式求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解。
考点】非负数的性质：算术平方根，非负数的性质：绝对值。
7.【答案】a
解析】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：
在中，，，根据勾股定理得：，过作，交于点，又，，则点到的距离是。
故选a.提示】根据题意画出相应的图形，如图所示，在直角三角形中，由及的长，利用勾股定理求出的长，然后过作垂直于，由直角三角形的面积可以由两直角边乘积的一半来求，也可以由斜边乘以斜边上的高除以来求，两者相等，将，及的长代入求出的长，即为到的距离。
考点】勾股定理，点到直线的距离，三角形的面积。
8.【答案】b
解析】解：a．，是任意实数，，故本选项错误；
b．，是任意实数，，故本选项正确；
c．当，时，，而此题是任意实数，故本选项错误；
d．当，c＞0时，，而此题是任意实数，故本选项错误。
故选b．提示】根据不等式的性质，分别将四个选项分析求解即可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用。
考点】不等式的性质。
9.【答案】c
解析】解：a．四边相等的四边形不一定是正方形，例如菱形，故此选项错误；
b．对角线相等的四边形不是菱形，例如矩形，等腰梯形，故此选项错误；
c．四个角相等的四边形是矩形，故此选项正确；
d．对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，如右图所示，故此选项错误。
故选：c．提示】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案，不是真命题的可以举出反例。
考点】正方形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，命题与定理。
10.【答案】d
解析】由图像可得，或时，.故选d．
提示】根据图像找出直线在双曲线下方的的取值范围即可。
考点】反比例函数与一次函数的交点问题。
第二部分。二、填空题。
11.【答案】
解析】解：，是的平分线，.故答案为：.
提示】根据角平分线的定**答。
考点】角平分线的定义。
12.【答案】
解析】解：移项，得：，则不等式的解集是：.故答案是：
提示】首先移项，然后合并同类项即可求解。
考点】解一元一次不等式。
13.【答案】
解析】解：.故答案为。
提示】先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解。
考点】提公因式法与公式法的综合运用。
14.【答案】
解析】在等边三角形中，，，绕点a旋转后得到，提示】由在等边三角形中，，是上一点，且，根据等边三角形的性质，即可求得的长，然后由旋转的性质，即可求得的长度。
考点】旋转的性质；等边三角形的性质。
15.【答案】3
解析】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，，，解得。
提示】因为方程有两个相等的实数根，则，解关于k的方程即可。
考点】根的判别式。
16.【答案】4
解析】解：以为直径画半圆，记为第1个半圆；
以为直径画半圆，记为第2个半圆；
以为直径画半圆，记为第3个半圆；
以为直径画半圆，记为第4个半圆，第4个半圆的面积为：，第3个半圆面积为：，第4个半圆的面积是第3个半圆面积的倍；
根据已知可得出第个半圆的直径为：，则第个半圆的半径为：，第个半圆的面积为：.
提示】根据已知图形得出第4个半圆的半径是第3个半圆的半径，进而得出第4个半圆的面积与第3个半圆面积的关系，得出第个半圆的半径，进而得出答案。
考点】规律型：图形的变化类。
三、解答题。
17.【答案】
解析】解：，①得，，解得，把代入①得，，解得，所以方程组的解是。
提示】根据的系数互为相反数，利用加减消元法求解即可。
考点】解二元一次方程组。
18.【答案】证明：在和中，提示】已知图形，根据证，根据全等三角形的性质即可求出答案。
考点】全等三角形的判定与性质。
19.【答案】（1）345
解析】（1）这五年的全年空气质量优良天数按照从小到大排列如下：，所以中位数是345；
极差是：；2）2023年与2023年相比，，2023年与2023年相比，，2023年与2023年相比，，2023年与2023年相比，，所以增加最多的是年。
3）这五年的全年空气质量优良天数的平均数天。
提示】（1）把这五年的全年空气质量优良天数按照从小到大排列，根据中位数的定**答；根据极差的定义，用最大的数减去最小的数即可。
2）分别求出相邻两年下一年比前一年多的优良天数，然后即可得解。
3）根据平均数的求解方法列式计算即可得解。
考点】折线统计图，算术平均数，中位数，极差。
20.【答案】
解析】解：提示】求出，通分得出，推出，化简得出，代入求出即可。
考点】分式的化简求值，约分，通分，分式的加减法。
21.【答案】（1）的所有等可能情况如下表：
点共9种情况。
解析】（2）点落在第三象限共有，两种情况，点落在第三象限的概率是。
提示】（1）直接利用**列举即可解答。
2）利用（1）中的**求出点落在第三象限共有两种情况，再除以点的所有情况即可。
考点】列表法，点的坐标。
22.【答案】（1）见解析。
解析】（1）如图所示，即为所求作的圆，与直线相交；
2）设直线与相交于点，在中，，在中，.
提示】（1）根据关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等找出点的位置，然后以3为半径画圆即可，再根据直线与圆的位置关系解答。
2）设直线与相交于点，在中，利用勾股定理求出的长度，在中，利用勾股定理列式计算即可求出的长度。
考点】作图——轴对称变换，直线与圆的位置关系。
23.【答案】（1）
2）30吨。
解析】（1）当时，；
当时，2）月份水费平均为每吨元，用水量如果未超过20吨，按每吨元收费。
用水量超过了20吨。
解得。答：该户5月份用水30吨。
提示】（1）未超过20吨时，水费相应吨数；超过20吨时，水费超过20吨的吨数。
2）该户的水费超过了20吨，关系式为：超过20吨的吨数用水吨数。
考点】一次函数的应用。
24.【答案】（1）
2）或。3）或。
解析】（1）令，即，解得，，点的坐标为。（2），在中，，设中边上的高为，则有，解得。
如答图1，在坐标平面内作直线平行于，且到的距离，这样的直线有2条，分别是和，则直线与对称轴的两个交点即为所求的点。
设交轴于，过作于，则，.
设直线的解析式为，将，坐标代入，得到，解得，直线解析式为。
直线可以看做直线向下平移长度单位（个长度单位）而形成的，直线的解析式为。
则的纵坐标为，.
同理，直线向上平移个长度单位得到，可求得。
综上所述，点坐标为：，.
3）如答图2，以为直径作，圆心为。过点作的切线，这样的切线有2条。
连接，过作轴于点。
又，则在中，，，
在中，，，则，点坐标为，直线过，，设直线的解析式为，则有。
解得，所以直线的解析式为。
同理，可以求得另一条切线的解析式为。
综上所述，直线的解析式为或。
提示】（1）点为抛物线与轴交点，令，解一元二次方程即可求解。
2）根据题意求出中边上的高，设为。在坐标平面内，作的平行线，平行线之间的距离等于。根据等底等高面积相等的原理，则平行线与坐标轴的交点即为所求的点。
从一次函数的观点来看，这样的平行线可以看做是直线向上或向下平移而形成。因此先求出直线的解析式，再求出平移距离，即可求得所作平行线的解析式，从而求得点坐标。
注意：这样的平行线有两条，如答图1所示。
3）本问关键是理解“以为顶点所作的直角三角形有且只有三个”的含义。
因为过点作轴的垂线，其与直线的两个交点均可以与点构成直角三角形，这样已经有符合题意的两个直角三角形；第三个直角三角形从直线与圆的位置关系方面考虑，以为直径作圆，当直线与圆相切时，根据圆周角定理，切点与点构成直角三角形。从而问题得解。
注意：这样的切线有两条，如答图2所示。
考点】二次函数综合题。
25.【答案】（1）
2）见解析。
解析】（1），即，解得。
2）①存在，使得。
理由如下：连接并延长交的延长线于点，为的中点，，在平行四边形中，，，在中，（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），，点是的中点，，，在中，，又（对顶角相等），，因此，存在正整数，使得；
设，在中，在中，（①中已证），当，即点是的中点时，取最大值，此时，所以，提示】（1）利用角的正弦值列式计算即可得解。
2）①连接并延长交的延长线于点，利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据的长度可得，然后利用等边对等角的性质可得，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，然后推出，从而得解；
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