继续教育课堂笔记

继续教育课堂笔记学校：清华育才实验学校。

科目：数学年级：初三教师：王雪霞。

课题：数形结合在数学中的应用

第十一课时。

数学思想就是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论的本质认识。数学思想、数学方法是密不可分的，对于数学方法来说，思想是其相应的方法的精神实质和理论基础，方法则是实施有关思想的技术手段。中学数学**现的数学观点和各种数学方法，都体现着一定的数学思想。

在数学思想中，有一类思想是体现基础数学中的具有奠基性和总结性的思维成果，这些思想可以称之为基本数学思想。中学阶段的基本数学思想包括：分类讨论的思想、数形结合的思想、变换与转化的思想、整体思想、函数与方程的思想、抽样统计思想、极限思想等等。

中学数学教学中处处渗透着基本数学思想，如果能使它落实到学生学习和运用数学的思维活动上，它就能在发展学生的数学能力方面发挥出一种方**的功能。在这些数学思想方法中数形结合思想是一种很重要的方法，它贯穿于整个中学数学的教学课程。

1、解决函数问题。

利用图形的直观性来讨论函数的值域(或最值)，求解变量的取值范围，运用数形结合思想考查化归转化能力、逻辑思维能力，是函数教学中的一项重要内容。

例 1: 对于 xr, y 取 4 - x, x + 1， (5 - x)三个值的最小值。求y 与x 的函数关系及最大值。

分析：在分析此题时，要引导学生利用数形结合思想，在同一坐标系中，先分别画出 y = 4 - x, y = x + 1, y = 5 - x)的图像，如图1。易得：

a (1, 2) ，b (3, 1) ,分段观察函数的最低点，故y与x 的函数关系式是：y= 图1

它的图像是图形中的实线部分。结合图像很快可以求得，当x= 1 时， y 的最大值是 2。

例 2 :若函数 f(x)是定义在r上的偶函数，在(- 0]上是减函数，且f(2)= 0 ,求 f(x)< 0的x的范围。

解：由偶函数的性质，y = f(x)关于y轴对称，由y = f(x)在(- 0 )上为减函数，且 f(-2) =f(2) =0 ,做出图3,由图像可知f(x)< 0 ，所以x（- 2，2)

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科目：数学年级：初三教师：王雪霞。

课题：数形结合在数学中的应用

第十二课时。

2、解决方程与不等式的问题。

处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图像的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。

例 3: 已知关于x 的方程=px，有 4个不同的实根，求实数p 的取值范围。

分析：设y ==与y=px这两个函数在同一坐标系内，画出这两个函数的图像，如图4。可知：

图41)直线y= px 与y= -x- 4x+ 3) ,x [ 1, 3 ]相切时原方程有3个根。

2) y= px 与 x 轴重合时，原方程有两个解，故满足条件的直线y= px 应介于这两者之间，由：得。

x+ (p - 4)x+ 3= 0, 再由△=0 得， p = 4±2 ,

当p= 4+ 2时， x= -1, 3 ]舍去，

所以实数p的取值范围是 0< p< 4- 2 。

例 4: 若不等式 x- ㏒x < 0, 在（0,)内恒成立，则a的取值范围是什么？

分析：原不等式可化为x < x，x（0,)，设y= x与y= ㏒x，在坐标系中作出y= x，x（0,)的图像，如图当x=时，y= x =，显然，当x（0,)时，y《就恒成立。

当a >1 时，在（0,)上y= ㏒x图像( 如图5 )在y= x的图像下方，不合题意。

图5当 0< a< 1 时，y= ㏒x在（0,)上的图像（如图6 ）是减函数。只需 y ，就可以使x< ㏒x，x（0,)恒成立。

图6故㏒，㏒a4，所以a（）=综上有a∈。

把方程不等式转化为函数，利用函数图像解决问题是数形结合的一种重要渠道。

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课题：数形结合在数学中的应用

第十三课时。

3、解决三角函数问题。

有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图像来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。

例 5：设 x，求证： cscx - cotx - 1

分析：由条件联想等腰三角形，不妨构造一个等腰直角三角形abc, 如图7，设∠cdb=x, 利用 ad+dbab=，可得cscx - cotx - 1。

图7例 6：已知0sin2x+sin2y+sin2z。

证明：如图8,在单位圆中，设∠aod=x, ∠bod=y, ∠cod=z,则 a,b,c点的坐标分别为(cosx,sinx),(cosy,siny),(cosz,sinz) 。

图中三个矩形面积分别为2sinx(cosx-siny),2siny(cosy-sinz), 2sinzcosz。

显然，这三个矩形面积之和小于半圆面积，即有+2sinxcosy+2sinycosz >sin2x+sin2y+sin2z。

图84、解决线性规划问题。

线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。

例7：已知1x - y2且2x + y4,求 4x - 2y 的范围。

解此题可直接利用代数方法用换元法去求解，这里用数形结合法来解决。

在平面坐标系中作出直线 x + y = 2 ，x + y = 4 , x - y = 1 , x - y = 2 ,则 1x - y2和2x + y4表示平面上的阴影部分(包括边界) ,如图9所示，令4x - 2y = m ,则y = 2x -，显然 m 为直线系4x - 2y = m 在y轴上截距2倍的相反数，易看出，直线4 x - 2 y = m 过阴影最左边的点 a（) 时， m 取最小值 5 ；过阴影最右边的点 c(3 ,1) 时， m 取最大值10。即 4 x - 2 y 的范围是[5，10]。

图9该题是用线性规划的思想，数形结合解决了具有约束条件的函数的最值问题。

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课题：数形结合在数学中的应用

第十四课时。

5、解决数列问题。

数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图像进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。

例8：等差数列中，前m项的和s= s ( mn) ,求 s的值。

解：代入等差数列的求和公式，则由s= s，得ma + na +,因为mn，所以a + 0，s=（m+n）a + m+n) =0。

这种解法易上手，但繁琐。若能利用数列求和公式的二次函数式，其解法又将进一步简化。

由s=an+bn，s=am+bm 。因为mn，所以s= a(m+n) +b（m+n）（m+n）= m+n) =0 。若再进一步利用s=an+bn的二次函数图像就可产生如下解法：

由s=an+bn，不妨设a< 0，而 y = ax+bx的图像是一个过坐标原点的抛物线，则由s= s ( mn)可知，该抛物线的对称轴方程是x =，易知，抛物线和x轴的一个交点是原点，另一交点的横坐标是(m + n)，故s=0 。

这个问题的第二种解法用到了数形结合，培养了学生由数列联想到函数图像，二者之间相互映证、转化，使学生感到一种数学变化的快乐。

6、解决解析几何问题。

解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。

例 9：如图10 ,矩形abcd，ad = a ，dc = b ,在 ab上找一点 e,使 e点与 c，d的连线将矩形分成的3个三角形相似。设ae = x，问：

这样的e点是否存在，若存在，这样的点e有几个？请说明理由。

解：假设在ab上存在点 e，使得3个三角形相似，所以△ecd一定是直角三角形。

rt△ade ∽ rt△ecd ∽ rt△bec.

ad = a，dc = b , ae = x ,be = b - x

于是=,得=，即x- bx + a = 0

δ =b- 4a = b + 2a) (b - 2a)

b + 2a > 0,a > 0,b > 0

①当 b - 2a < 0 ,即 b < 2a时，δ<0 ,方程无实数解， e点不存在；

当 b - 2a = 0 ,即 b = 2a时，δ=0 ,方程有两个相等的正实数根，e点只有一个；

当 b - 2a > 0 ,即 b > 2a时，δ>0 ,方程有两个不相等的正实数根， e点有两个。

图10说明：本题是一道几何问题，其几何量之间的关系运用代数式及方程来表示，并根据方程的理论进行了由数到形的** 。

数形结合是将抽象的数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，发挥数与形两种信息的转换及其优势互补与整合，巧妙应用数形结合的思想方法，不仅能直观地发现解题的途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化解题的过程。“数无形时不直观，形无数时难入微” 。华罗庚先生恰当地指出了 “数” 与 “形” 的相互依赖、相互制约的辩证关系，是对数形结合方法最通俗的、最深刻的剖析。

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