数学建模与数学实验。
课程设计报告。
2024年6月。
摘要】本文针对工厂利用两种原料生产三种商品制定最优生产计划的问题，建立优化问题的线性规划模型。在求解中得到了在不同生产计划下收益最优化的各产品的产量安排策略、最大收益，以及最优化生产计划的灵敏度分析。
对于问题一，通过合理的假设，首先根据题中所给的条件找出工厂收益的决定条件，利用线性规划列出目标函数max。由题目中所得，工厂原料及**的约束条件下运用lingo软件算出最优生产条件下最大收益为1920元，其次是不同产品的产量。
对于问题二，灵敏度分析是研究当目标函数的费用系数和约束右端项在什么范围变化时，最优基保持不变。对产品结构优化制定及调整提供了有效的帮助。根据问题一所给的数据，运用lingo软件做灵敏度分析。
关键词：最优化线性规划灵敏度分析 lingo
一、问题重述。
某工厂利用两种原料甲、乙生产a1、a2、a3三种产品。如果每月可**的原料数量（单位：t），每万件产品所需各种原料的数量及每万件产品的**如下表所示：
1）试制定每月和最优生产计划，使得总收益最大；
2）对求得的最优生产计划进行灵敏度分析。
二、模型假设。
1）在产品加工时不考虑排队等待加工的问题。
2）假设工厂的原材料足够多，不会出现原材料断货的情况。
3）忽略生产设备对产品加工的影响。
4）假设工厂的原材料得到充分利用，无原材料浪费的现象。
三、符号说明。
xij（i=1,2,；j=1,2,3；）表示两种原料分别生产出产品的数量（万件）；
max为最大总收益；
a1，a2，a3为三种产品。
四、模型分析。
问题一分析：对于问题一的目标是制定每月和最优生产计划，求其最大生产效益。由题中所给的条件找出工厂收益的决定条件，利用线性规划列出目标函数max。
由题目中所得，工厂原料工厂原料及**的约束，列出约束条件。
问题二分析：研究当目标函数的费用系数和约束右端项在什么范围变化时，最优基保持不变。通过软件数据进行分析。
五、模型建立与求解。
问题一的求解：
建立模型：题目的目标是寻求总利益最大化，而利润为两种原料生产的六种产品所获得的利润之和。
设xij（i=1,2,；j=1,2,3；）表示两种原料分别生产出产品的数量（万件）
则目标函数：max=12(x11+x21）+5(x12+x22)+4(x13+x23)
约束条件：1）原料**：4x11+3x12+x13<=180;
2x21+6x22+3x23<=200
2）非负约束：x11,x12,x13,x21,x22,x23>=0
所以模型为：
max=12(x11+x21）+5(x12+x22)+4(x13+x23)
i=1,2;j=1,2,3且为整数)}
模型求解：model:
max=12*x11+12*x21+5*x12+5*x22+4*x13+4*x23;
4*x11+3*x12+x13<=180;
2*x21+6*x22+3*x23<=200;
end计算结果：
global optimal solution found.
objective value1920.000
infeasibilities0.000000
total solver iterations0
variablevalue reduced cost
x11 0.0000004.000000
x21 100.00000.000000
x12 0.0000007.000000
x22 0.00000031.00000
x13 180.00000.000000
x23 0.00000014.00000
row slack or surplus dual price
结论：从数据表明，这个线性规划的最优解为x11=0,x12=0,x13=180,x21=100,x22=0,x23=0 ,最优值为1920.即这个工厂的最优生产计划为：
用甲原料生产a1，a2，a3产品数量分别为0万件，0万件，180万件；用乙原料生产a1,a2,a3产品数量分别为100万件，0万件，0万件 。
问题二的求解：
用lingo软件对模型进行灵敏度分析的结果如下：
ranges in which the basis is unchanged:
objective coefficient ranges
current allowable allowable
variable coefficient increase decrease
x11 12.00000 4.000000 infinity
x21 12.00000 infinity 9.333333
x12 5.000000 7.000000 infinity
x22 5.000000 31.00000 infinity
x13 4.000000 infinity 1.000000
x23 4.000000 14.00000 infinity
righthand side ranges
rowcurrent allowable allowable
rhs increase decrease
2 180.0000 infinity 180.0000
3 200.0000 infinity 200.0000
显然可以看出：在最优值不变的条件下目标函数系数允许变化的范围：x11的系数为（12,12+4）=（12,16）；x12的系数为（5,5+7）=（5,12）；x13的系数为（4-1,4）=（3,4）；x21的系数为（12-9.
333333,12）=（2.666667,12）；x22的系数为（5,5+31）=（5,36）；x23的系数为（4,4+14）=(4,18)。同样看出约束右端的限制数没有发生变化。
由于目标函数的系数并不影响约束条件，所以最优解保持不变。
六、模型的优缺点。
模型的优点：
1）模型的适用性好，线性规划性比较好，能够随着市场的变化而做出相应的变动，从而得到更大的效益，具有更强的应用指导意义。
2）模型的建立运用线性规划的方法，可理解性强，应用广泛。
3）lingo软件执行速度很快，易于输入，修改，求解，分析数学规划的问题。
模型的缺点：
1）没有考虑到机床维修的费用对工厂总体效益的影响，与实际情况有出入。
2）模型比较单一，并没有用更好的办法去进行相应的检验其最大收益，及最优生产计划。
七、模型的推广。
本文的模型是一个典型的线性规划的模型，用来求解最大或最小目标函数极值问题。此问题有很多的推广应用价值。优化问题可以说是人们应用科学、工程设计、商业**等领域中常遇到的一类问题。
这种数学建模的方法来处理优化问题，即建立和求解所谓的优化模型。虽然，由于建模时要适当做出简化，可能是结果不一定完全可行或达到实际上的困扰，但是它基于客观规律和数据，模型的建立与求解并不需要耗费太多的时间。如果在建模的基础上在赋予其现实的意义，就可以期望得到实际问题的一个圆满的结果。
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