《数学建模》课程设计

数学模型上机报告。

黄河各水文站的灰色关联度模型。

学院：数学与信息科学。

专业：信息与计算科学。

姓名：孙志攀。

学号：201216511

指导老师：袁合才。

2024年6月28日。

黄河各水文站的灰色关联度模型。

a题)摘要。

针对黄河干流主要水文站的历年实测径流量与利津站的相似程度问题建立数学模型，可以用关联度的排序来分析，关联度大的表明该因素是影响系统发展主要影响因子，关联度小的说明系统发展不受或少受此因素的影响。通过关联度分析，便于分析主导因素和潜在因素，分清优势与劣势。通过利用新型灰色接近关联模型的方法，统计各水文站2002-2024年的实测净流量xi，xi(t)为数据序列对应的折线，本文采取先分段计算在整合的方法体现整体性。

将折线分为10段，通过计算每段线段与坐标轴间所夹面积si(k)，再求xi与xj两对应线段间面积差，进而求得xi与xj两数据序列的相对面积△sij(k)，然后计算xi与xj的接近关联系数γij(k)，最后，将γij(k)求和取平均值得到灰色接近关联度γij。通过比较γij值的大小得出一个降序排列：γ7j>γ6j>γ1j>γ2j>γ5j>γ8j>γ10j>γ4j>γ3j>γ9j，即各水文站的历年实测径流量与利津站的相似程度由大到小依次为：

龙门、头道拐、唐乃亥、贵德、石嘴山、三门峡、高村、下河沿、兰州、花园口。

关键字：新型灰色接近关联模型接近关联系数灰色接近关联度。

灰色系统理论。

邓聚龙将部分信息已知、部分信息未知的系统命名为灰色系统。灰色系统理论中的关联度分析方法，是根据因素之间发展态势的相似或相异程度，来衡量因素间的关联程度。由于关联度分析法是按发展趋势进行分析，因此对样本量的多少没有过分要求，也不需要典型的分布规律，计算量小，因素分析实质上是几种曲线间几何形状的分析比较，认为几何形状越接近，则发展变化态势越接近，关联度越大。

谱分析。时间序列分析的谱分析是捕捉波动周期和**序列结构的有效工具，与时域分析方法相结合，从频域角度进一步获得数据的信息。谱分析的协谱、余谱、波幅谱、位相谱及凝聚谱分别从不同角度和侧面反映波动时间序列的频域特征，功率谱分析可以获得时间序列的周期波动及各种波动的方差贡献。

实际研究中遇到的时间序列大多为非平稳序列，因此如何获得非平稳序列谱特征值，是其最核心的环节。

基于灰色关联度的波谱分析。

谱分析研究的对象是平稳过程，而灰色系统理论中的关联度分析，只关心研究对象（以曲线表示）的几何图形形状是否相似，不论曲线是平稳过程还是非平稳过程，因此把关联分析与谱分析结合起来，将应用于平稳过程的谱分析方法应用于非平稳过程，拓宽谱分析的应用领域，以揭示非平稳过程时间序列的周期波动，丰富时间序列的分析方法。

问题的重述。

黄河流域（包括黄河内流区，下同）总面积79.5万km2，流经青海、四川、甘肃、宁夏、内蒙古、陕西、山西、河南、山东等九省（自治区）。全河划分为兰州以上、兰州至头道拐、头道拐至龙门、龙门至三门峡、三门峡至花园口、花园口以下、黄河内流区等流域分区。

通过黄河水资源公报查找唐乃亥、贵德、兰州、下河沿、石嘴山、头道拐、龙门、三门峡、花园口、高村、利津等11个水文站在2002-2024年的实测径流量。建立数学模型比较前10个站与利津站的数据相似度，并按照相似度的大小从大到小排序。

模型的假设及符号的说明。

模型的假设：

1）假设样本数据是准确的。

表1 符号的说明。

模型的建立。

统计各站每年数据，建立数据序列xi=(xi(1),xi(2),…xi(11))；对应折线xi(t)=；线段与坐标轴间所夹面积si(k)=,其中si(k)≥0；△sij(k) =为两对应线段间面积差，其中△sij(k)≥0；△s*ij(k)=为两数据序列的相对面积，其中si(k)≠0，sj(k)≠0；γij(k)=exp(-△s*ij(k))为数据序列xi与xj的接近关联系数；γij=为数据序列xi与xj的灰色接近关联度。代入数据最终可求得γij的值，按照其值从大到小排列即为各水文站与利津站数据序列的相似度。

通过编程计算求得γij的值如下表所示：

相似度从大到小序列依次为：γ7j>γ6j>γ1j>γ2j>γ5j>γ8j>γ10j>γ4j>γ3j>γ9j。

模型的评价。

本文采取先分段计算再整合的方法体现整体性，将连续折线拆分为线段，先考虑线段间的拟合程度，然后采用先取绝对值后积分的思想，可以避免正负面积抵消，得到实际围成的面积，符合接近关联模型的基本思想，体现了两线段间的拟合程度，相对面积是经过“量纲”si(k) 与sj(k) 处理后的面积，目的是使结果具有绝对的可比性，不受数量级的影响。该模型具有计算简单、趋势明显和分辨性高的特点。通过对接近关联系数和灰色关联度的总结，证明了新型灰色接近关联模型具有良好的性质，满足了灰色关联四公理中的规范性、接近性，将整体性和偶对对称性推升为绝对可比性和对称性。

参考文献。1] 刘震党耀国周伟杰夏卫国，新型灰色接近关联模型及其拓展第29卷第6期 2024年6月。

附录。matlab程序**。

主程序：clear all;

x=xlsread(''

m,n]=size(x);

for i=1:m-1

relative_level(i)=relative(x(m,:)x(i,:)n);

endrelative_level=double(relative_level);

b,ix]=sort(relative_level,'descend');

disp('排序结果为：')

ix构造函数：

function related_lev=relative(a,b,n)

for k=1:n-1;

syms t;

line_a=a(k)+(t-k)*(a(k+1)-a(k));

line_b=b(k)+(t-k)*(b(k+1)-b(k));

area_a=int(abs(line_a),t,k,k+1);

area_b=int(abs(line_b),t,k,k+1);

area_differ=int(abs(line_a-line_b),t,k,k+1);

area_relative=1/2*(area_differ/area_a+area_differ/area_b);

related_coefficient=exp(-area_relative);

media=0;

media=media+related_coefficient;

endrelated_lev=media/(n-1);

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