0840503220 苏阳。
0840503224 张明。
0840503226 郑景旻。
影院座位设计。
问题回顾：影院座位的满意程度主要取决于视角和仰角，视角是观众眼睛到屏幕上下边缘的视线的夹角，越大越好；仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，太大使人的头部过分上仰，引起不适，一般要求仰角不超过；记影院的屏幕高为，上边缘距离地面高为，影院的地板线通常与水平线有一个倾角，第一排和最后一排与屏幕水平距离分别为，观众的平均座高为（指眼睛到地面的距离），已知参数=1.8.
=5，， 1.1(单位m)。
求解以下问题：
1) 地板线的倾角时，求最佳座位的所在位置。
2) 地板线的倾角一般超过，求使所有观众的平均满意程度最大时的地板线倾角。
3) 地板线设计成什么形状，可以进一步提高观众的满意程度。
本次课程设计研究了电影院的座位设计问题，根据观众对座位的满意程度主要取决于视角与仰角这一前提条件，建立了满意程度最大的相关模型，并进行求解。
问题一，首先建立在满足仰角条件情况下的优化模型，接着通过主观臆断分别对视角和仰角赋权重，对座位进行离散分析，并引入满意度函数建立了离散加权模型，最后求解出当地板线的倾角为时，最佳位置距屏幕的水平距离为6.8635米。
问题二，根据问题一中的离散加权模型，将座位看作离散的点，建立满意度函数平均值模型，解得当地板线的倾角为时，所有观众的平均满意程度最大。
问题三，在问题二的基础上，为进一步提高观众的满意程度，将地板线设计成折线形状，即相邻两排座位所在的点构成一条直线，且每排座位所在地板线的倾角以变化，增加到后保持不变，第一排抬高米。
在此在此课程设计中作以下假设：
1.忽略因视力或其他方面因素影响观众的满意度；
2.观众对座位的仰角的满意程度呈线性；
3.观众对座位的水平视角的满意程度呈线性；
4.最后排座位的最高点不超过屏幕的上边缘；
5.相邻两排座位间的间距相等，取为0.8；
6.对于同一排座位，观众的满意程度相同；
7.所有观众的座位等高为平均座高；
8.影院的的地板成阶梯状。
符号说明：问题一。
每一个到影院看电影的观众都想坐在最佳位置，而对座位的满意程度主要取决于两个因素：水平视角和仰角，且视角是观众眼睛到屏幕上下边缘的视线的夹角，越大越好，仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，太大使人的头部过分上仰，引起不适，要求不超过。
模型的建立：仰角在满足条件的范围内，观众满意度只取决于视角。
以第一排观众的眼睛为原点，建立平面直角坐标系，如图1所示：
其中，为屏幕，为地板线，为所有的观众的眼睛所在的直线。则由图可设视觉线上任意一点的坐标为，屏幕上下点的坐标分别为，，的斜率记为，的斜率记为。
由斜率公式得：
则直线和的斜率与夹角满足如下关系：
仰角满足条件： 所以：
由公式(1.1) (1.2)得到模型为：
模型的求解。
当时，得最大视角为，仰角为，米。即点的坐标为为最佳位置。离屏幕的水平距离为。
模型优化：离散加权模型。
在地板线上的座位可视为是离散的点，设两排座位在地板线方向上的前后间距为（查阅相关资料间距一般取0.8米），则在水平方向的间距为，考虑仰角和视角对观众的满意度为主要因素。
对模型ⅰ进行修正，将座位连续情况进行离散化可以得到：
其中，，为地板线上的座位的总排数，且。
一般说来，人们的心理变化是一个模糊的概念。本文中观众对某个座位是否满意的看法就是一个典型的模糊概念。由模糊数学隶属度的概念和心理学的相关知识，根据题意，在假设条件下，对于第排座位，建立观众对视角、仰角的满意度函数如下：
式中为第排座位上观众视角和仰角，表示在给定的情况下最优满意度，表示在给定的情况下最差满意度。
视角、仰角在综合满意度中的权重分别为，建立第排座位综合满意度函数如下：
根据地板线倾角，通过计算可以得出，，主观给定权重，根据模型的建立，可以得出：
将式(2.1)和式(2.2)带入公式(2.6)得到优化模型为：
对于优化模型的求解。
解得：米，排，最大满意度为，最大视角为，仰角为，最佳位置离屏幕的水平距离为。
问题二。模型的建立。
要使所有观众的平均满意程度达到最大，即需求的最大值。由模型ⅱ可知，第排观众的满意度为，则观众平均满意程度函数为：，平均满意度的大小由每一排的满意度所决定，而又是由仰角和视角所决定。
所以，要使观众的满意程度达到最大，取决于两个方面：(1) 仰角不超过条件的座位所占的比例越大，观众的平均满意程度就越大；(2) 所有座位的视角的均值越大，观众的平均满意程度就越大。
由式(1.1)可知，地板线倾角的改变将同时使所有座位的仰角和视角的大小发生改变，且在某一座位(即取某一定值)，在逐渐增大的过程中仰角逐渐减小，视角逐渐增大，见图2所示。仰角不超过条件的区域扩大，即地板线倾角越大，仰角不超过条件的座位所占的比例越大。
图2 视角和仰角随变化的变化曲线。
第一排观众的仰角为，不满足仰角的条件，由模型ⅱ可知第排座位所对应的仰角的正切值：
其中为地板线上的座位的总排数：，随着地板线倾角的变化，相邻两排座位间的间距不变，但相邻两排座位间的水平间距会发生改变。由于地板线倾角不超过，所以，并限制最后一排观众的视高不要超过屏幕的上边缘，即。
由模型ⅰ可求出第排座位所对应的水平视角的正切值为：
模型的求解。
让地板线倾角在内逐一取值，步长为；让在内逐一取值，步长为0.01。
对一个取定的，判断所在的位置仰角是否超过，若超过，则该座位的综合满意度必须同时考虑仰角和视角的取值；否则，只需要考虑视角的取值，把所有座位的综合满意度相加，并求出观众的平均综合满意度，判断此时的平均满意度是否最大，最后一排的高度是否超过屏幕的上边缘，并记下最大值时的取值。
当取地板线倾角为变化时，通过计算可以得出，。
由模型的(2.5)式得3.1）
所以，将式(2.1)和式(2.2)带入公式(3.1)得到平均满意度的优化模型为：
解得：最大平均满意度为，对应地板线的倾角为。
问题三。模型的建立与求解。
由上两问可知，观众的满意程度与仰角，视角和地板线倾角都有关，而每一座位到屏幕的水平距离基本固定不变，考虑观众的满意度，就要考虑仰角，视角随着的变化情况。
引理地板线不管设计成什么形状，各排的间距不变，区别在于各排的高度差如何变化，若竖直方向上的两定点，在与它们相距一定水平距离的竖直方向上有一动点，当该动点位于两定点的垂直平分线上时，动点与两定点形成的视角最大。动点距两定点的垂直平分线越近，动点与两定点形成的视角越大。
要使每一个座位所对应的视角取最大值，对应的y值应在直线上。设计地板线应考虑以下几个方面：(1)第排座位所在的位置应高于第排座位所在的高度；(2)前一排的观众不会挡住后一排观众的视线；(3)视角尽可能大，即眼睛的位置应尽可能分布在垂直平分线的附近；(4)仰角的座位所占的比例尽可能大。
假设每排座位所在的点构成一条折线，任意相邻两排座位水平间距为，第排座位地板线倾角为，第排座位与第排座位地板线倾角变化为。从而可得：，故：
同理可得：观众平均满意程度函数为：
可算出地板线上的座位的总排数为：，则可计算得当时，。
但此时，根据一般习惯，要求地板线倾角，但此时求得最后一排座位的地板线倾角为，这大大超过观众的心理范围，因此文中将对此进一步的修改。当时，令。当时，即将问题转化为问题二中所建立的模型。
由于，则地板线倾角增加到第8排到达，然后保持不变。
对于这两种情况，分别代入不同的函数，解得：满意度函数的最大值。
描点，如图3所示：
图3从上图可以看出，报告厅座位的前排呈折线状，以递增，当倾角增加到时保持不变，且第一排应抬高米。
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