送货问题。
某地区有8个公司(如图一编号①至⑧)，某天某货运公司要派车将各公司所需的三种原材料a,b,c从某港口(编号⑨)分别运往各个公司。路线是唯一的双向道路(如图１)。货运公司现有一种载重 6吨的运输车，派车有固定成本20元/辆，从港口出车有固定成本为10元/车次(车辆每出动一次为一车次)。
每辆车平均需要用15分钟的时间装车，到每个公司卸车时间平均为10分钟，运输车平均速度为60公里／小时(不考虑塞车现象)，每日工作不超过8小时。运输车载重运费1.8元/吨公里，运输车空载费用0.
4元/公里。一个单位的原材料a,b,c分别毛重4吨、3吨、1吨，原材料不能拆分，为了安全，大小件同车时必须小件在上，大件在下。卸货时必须先卸小件，而且不允许卸下来的材料再装上车，另外必须要满足各公司当天的需求量(见表１)。
问题：1、货运公司派出运输车6辆，每辆车从港口出发(不定方向)后运输途中不允许掉头，应如何调度(每辆车的运载方案，运输成本)使得运费最小。
2、每辆车在运输途中可随时掉头，若要使得成本最小，货运公司怎么安排车辆数？应如何调度？
3、(1)如果有载重量为4吨、6吨、8吨三种运输车，载重运费都是1.8元/吨公里，空载费用分别为0.2，0.
4，0.7元/公里，其他费用一样，又如何安排车辆数和调度方案？(2)当各个公司间都有或者部分有道路直接相通时，分析运输调度的难度所在，给出你的解决问题的想法(可结合实际情况深入分析)。
图１ 唯一的运输路线图和里程数。
表１ 各公司所需要的货物量。
首先对题目进行分析，不难发现，实际上生活中有很多这样的实例，这个问题和高中数学的最优解有很大的联系，只不过是考虑因素更多，它涉及到①费用约束②时间约束③卸货约束④车辆约束⑤载重约束。
1.1.模型的基本假设。
1.假设原料a,b,c原料在装车，卸车以及行驶过程中没有损耗，质量没有变化。
2.假设运输车在路上行驶速度不受转弯，红绿灯，路面不平和其他突发事件，如交通事故。
3．假设运输车司机不受身体等因素影响，运输车回来后，可以立即运输。
1.2．符号说明。
ai,bi表示运输车的运输的两个方向，运输车从港口向左方式为为ai，运输车从港口向右方式为bi（i=1,2,3,4,5,6）
ci表示某一辆运输车装货的吨数。
6aij，6bik表示某一辆6吨运输车从港口在某单位卸货后回到港口所需费用（j=1,2,3,4,5,6,7,wij，wik表示某一辆运输车在某一单位卸车到出发港口的距离。
ti表示某一辆运输车工作时间。
r表示卸货次数。
p1表示某一辆运输车向相同方向行驶次数。
p2表示某一辆运输车向相反方向行驶次数。
s表示运输所需总费用。
1.3.模型的建立，分析与求解。
1.问题1的分析与解答。
模型1为了使运输费用最小，由于派车有固定费用，故我们要尽量减少车辆使用数量，由于时间的约束，我们要尽量减少卸货次数，由于有装载约束，所以我们尽量要把车装满才划算，由于运输车载重运费要1.8元/吨公里，运输车空载费用才0.4元/公里，所以我们要尽快把原料卸掉，从这里我们可以从港口向两个方向送货，这样可以尽快卸货。
时间约束：ti=p1（60+15）+10r≤8×60
车辆约束：∑ai=6
载重约束：ci=4m+3n+l（0≤m≤1，0≤n≤2，0≤l≤6，1≤4m+3n+l≤6）
卸货约束：故只有4种卸货方式，①只卸c种原料②只卸b，c种原料③只卸a，c种原料④卸a种原料。
总重约束：∑ci=（4+1+2+3+1+2+5）×4＋（1+5+1+2+4+2+3）×3+5+2+4+2+4+3+5+1
aij=20+10+1.8×4mwj1+1.8×3nwj2+1.8lwj3+（60—wj1）(8≥j1≥j2≥j3≥1)
j=1，w=8
j=2，w=15
j=3，w=24
j=4，w=29
j=5，w=37
j=6，w=45
j=7，w=49
j=8，w=55
bjk=20+10+1.8×4mwk1+1.8×3nwk2+1.8lwk3+（60—wk1）×0.4（8≥k1≥k2≥k3≥1）
j=8时，k=1，w=5
j=7时，k=2，w=11
j=6时，k=3，w=15
j=5时，k=4，w=23
j=4时，k=5，w=31
j=3时，k=6，w=36
j=2时，k=7，w=45
j=1时，k=8，w=52
总费用s=∑aij+∑bik,最后根据约束条件求的即可，没有数学lindo软件，故没有求。
1.问题2的分析与解答。
模型2与模型1所不同，此时货运公司安排的车辆数也是未知，车辆可以随时掉头，那么车辆的时间变了，问题更复杂了，首先我们考虑不变问题，我们可以发现载重约束：ci=4m+3n+l（0≤m≤1，0≤n≤2，0≤l≤6，0≤4m+3n+l≤6）,卸货约束：故只有4种卸货方式，①只卸c种原料②只卸b，c种原料③只卸a，c种原料④卸a种原料，总重约束：
∑ci=（4+1+2+3+1+2+5）×4＋（1+5+1+2+4+2+3）×3+5+2+4+2+4+3+5+1都未变，先固定不变量，变量就可以逐个突破，我们发现时间约束和费用约束表面看起来一个是时间改变，一个路程改变，其实时间改变的本质就路程的改变，两者变量一致，而车辆数量的改变的本质就是固定费用的减少，车辆随时掉头，最其本质就是可能掉头回去近点，节省油费。
车辆约束：∑ai≤6
时间约束：ti= p1（60+15）+10r +p2（wj1/60×60×2）+p2×r10+ p1（60+15）+10r +p2（wk1/60×60×2）+p2×r10≤8×60
6aij=20q+10+1.8×4mwj1 +1.8×3nwj2 +1.8lwj3 +0.4wj1（q=0或1，1≤j1≤4）
6aij=20+10+1.8×4mwj1+1.8×3nwj2+1.8lwj3+（60—wj1）(5≤j1≤8)
j=1，w=8
j=2，w=15
j=3，w=24
j=4，w=29
j=5，w=37
j=6，w=45
j=7，w=49
j=8，w=55
6bjk=20q+10+1.8×4mwk1+1.8×3nwk2+1.8lwk3+0.4wk3（q=0或1, 5≤k1≤8）
6bjk=20 q +10+1.8×4mwk1+1.8×3nwk2+1.8lwk3+（60—wk1）×0.4（q=0或1，1≤k1≤4）
j=8时，k=1，w=5
j=7时，k=2，w=11
j=6时，k=3，w=15
j=5时，k=4，w=23
j=4时，k=5，w=31
j=3时，k=6，w=36
j=2时，k=7，w=45
j=1时，k=8，w=52
总费用s=∑aij+∑bik,最后根据约束条件求的即可，没有数学lindo软件，故没有求。
1.问题3的分析与解答。
模型3（1）
与模型1，2有所不同，在于运输车载重约束变化了，空运费用变化了，此时我们依然要用到前面不变得约束，车辆约束：∑ai≤6，ti= p1（60+15）+10r +p2（wj1/60×60×2）+p2×r10+ p1（60+15）+10r +p2（wk1/60×60×2）+p2×r10≤8×60，总重约束：∑ci=（4+1+2+3+1+2+5）×4＋（1+5+1+2+4+2+3）×3+5+2+4+2+4+3+5+1另外部分改变约束我们也要把它看成不变约束，如载重约束：
ci=4m+3n+l（0≤m≤2，0≤n≤2，0≤l≤8，1≤4m+3n+l≤8），同时对前面的约束加以变化利用。
用6吨货车费用。
6aij=20q+10+1.8×4mwj1 +1.8×3nwj2 +1.8lwj3 +0.4wj1（q=0或1，1≤j1≤4）
6aij=20+10+1.8×4mwj1+1.8×3nwj2+1.8lwj3+（60—wj1）×0.4(5≤j1≤8)
j=1，w=8
j=2，w=15
j=3，w=24
j=4，w=29
j=5，w=37
j=6，w=45
j=7，w=49
j=8，w=55
6bjk=20q+10+1.8×4mwk1+1.8×3nwk2+1.8lwk3+0.4wk3（q=0或1, 5≤k1≤8）
6bjk=20 q +10+1.8×4mwk1+1.8×3nwk2+1.8lwk3+（60—wk1）×0.4（q=0或1，1≤k1≤4）
j=8时，k=1，w=5
j=7时，k=2，w=11
j=6时，k=3，w=15
j=5时，k=4，w=23
j=4时，k=5，w=31
j=3时，k=6，w=36
j=2时，k=7，w=45
j=1时，k=8，w=52
用4吨货车费用。
4aij=20q+10+1.8×4mwj1 +1.8×3nwj2 +1.8lwj3 +0.2wj1（q=0或1，1≤j1≤4）
4aij=20+10+1.8×4mwj1+1.8×3nwj2+1.8lwj3+（60—wj1）×0.2(5≤j1≤8)
j=1，w=8
j=2，w=15
j=3，w=24
j=4，w=29
j=5，w=37
j=6，w=45
j=7，w=49
j=8，w=55
bjk=20q+10+1.8×4mwk1+1.8×3nwk2+1.8lwk3+0.2wk3（q=0或1, 5≤k1≤8）
bjk=20 q +10+1.8×4mwk1+1.8×3nwk2+1.8lwk3+（60—wk1）×0.2（q=0或1，1≤k1≤4）
j=8时，k=1，w=5
j=7时，k=2，w=11
j=6时，k=3，w=15
j=5时，k=4，w=23
j=4时，k=5，w=31
j=3时，k=6，w=36
j=2时，k=7，w=45
j=1时，k=8，w=52
用8吨货车费用。
8aij=20q+10+1.8×4mwj1 +1.8×3nwj2 +1.8lwj3 +0.7wj1（q=0或1，1≤j1≤4）
8aij=20+10+1.8×4mwj1+1.8×3nwj2+1.8lwj3+（60—wj1）×0.7(5≤j1≤8)
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