数学建模课程设计

题目：服务机构劳务安排的优化设计。

服务机构劳务安排的优化设计。

摘要。生活中，我们会接触到各种各样的服务机构，就服务机构自身而言，不同的时间段内需要的服务量和需求量有显著的不同，而且不同时段对劳务的支付工资也有不同。本文主要站在管理者的角度，考虑在既要满足需要，又要尽量节约劳务开支的基础上如何设计才能得到最优安排。

文中以某公司超市卖场营销人员工作安排问题为例，根据已给定的各个时间段所需的服务员人数和四个班次与休息时间安排表及其他给定的限制，建立整数线性规划优化模型，得出最优安排，使得劳务安排既满足公司超市卖场需要，又使公司的劳务开支最少。另外本文将进一步讨论在已有班次的基础上，增加更多的班次，研究人员安排及劳务支出的变化，以便公司根据最少的劳务开支做出最优选择。由问题给出的时间、班次安排表以及最少需求量，在8：

00——17：00和12：00——21：

00中每隔一个小时安排吃饭时间，根据班次安排的人数列出线性不等式，根据月支出得到目标函数，然后建立线性规划模型，用lingo软件解出人数和最优劳务开支。由此解决本问题要讨论的最少人数和最优劳务开支。

关键词：整数规划，劳务开支，线性规划模型。

一、问题重述。

对于既要满足需要，又要尽量节约劳务开支的优化问题，通过查阅资料与调查可知超市卖场的营业时间是上午8点到21点，以两小时为一时段，各时段内所需的服务人员数已有**的形式给出（见表5-1），每个营销人员可在任一时段开始时上班，但要连续工作8小时，中途需要1小时的吃饭和休息时间。为保证营业时间内都有人值班，公司安排了四个班次，其班次与休息时间安排如表5-2，在不同时段的工资标准不同，上午8点到17点工作的人员月工资为1200元，中午12点到21点工作的人员月工资为1500元。根据已给定的各个时间段所需的服务员人数和四个班次与休息时间安排表及其他给定的限制，建立整数规划优化模型，得出最优安排，使得既满足公司超市卖场需要，又使公司的劳务开支达到最少。

2、问题分析。

针对某公司超市卖场营销人员工作时间安排问题建立一个数学模型来进行优化设计，使得既要满足公司超市卖场的需要，又使公司的劳务开支最少。

对于问题一，超市卖场安排了四个班次来分配值班人员，建立适当的数学模型，使得劳务开支最少。由于各个时间段所需的服务员人数和四个班次与休息时间安排的限制已给定，所以可建立整数规划模型得到最优安排。

对于问题二，根据题目所给信息将进一步细化问题一所安排的班次，讨论对8点至17点和12点至21点分别安排更多的班次及其劳务支出的变化。与问题一类似可根据限制条件建立线性规划模型得到相应的变化。

3、模型假设。

1）题目中以两小时为一时段，假设两小时内的任意时刻所需工作人数都要大于等于这一时段的最小需求人数，即我们可以把一个时段分成两部分，每部分一小时，再进行讨论。

2）工作人员的月工资只与他所在工作班次与工作时长有关，与他的表现及公司变动等其他因素无关。

3）工作人员会一直做下去，中途不会退出。

四、符号说明。

表4-1 符号说明。

5、模型的建立及求解。

5.1模型一的模型与求解。

各个时间段最少需求人数及不同班次的工作时间、休息时间与月工资，如下表所示。

表5-1 各时间段最少需求人数。

表5-2 不同班次的工作时间、休息时间与月工资。

5.1.1模型一的分析与建立。

针对问题一，超市卖场安排了四个班次来分配值班人员，目标是使得劳务开支最少，则由**5-2所给信息可得出目标函数为：

min 充分考虑员工休息及上下班时间，讨论各个时间段哪些班次仍在工作，哪些已处于休息或下班时间段，根据工作班次可求得相应约束条件，如下表所示：

表5-3 各时间段工作班次及相应约束条件。

由上述信息可建立如下整数线性规划模型：

min 约束条件为：

5.1.2模型一的求解。

用lingo计算过程及结果如下：

由此可知，模型一中当第2班次上班的工作人员人数为35，第3班次上班的工作人员人数为30，第1班次和第4班次无人上班时，我们可以得出公司的劳务开支最少，最少值为87000元。

5.2.1模型二的分析与建立。

在模型一建立的基础上，进一步分类讨论对8点至17点和12点至21点分别安排更多的班次其劳务支出的变化。

表5-4 不同班次的工作时间、休息时间与月工资。

由上表知该超市卖场安排了九个班次来分配值班人员，目标是劳务开支最少，则根据已给定表中信息可得目标函数为：

min 在增加了班次的基础上，考虑员工休息及上下班时间，结合各个时间段仍在工作的班次和已处于休息或下班班次，可求得相应约束条件，如下表所示：

表5-5 各时间段工作班次及相应约束条件。

由上述对模型的分析可建立如下整数线性规划模型：

min 约束条件为：

5.2.2模型二的求解。

用lingo计算过程及结果如下：

由此可知，模型二中当第2班次上班的工作人员人数为35，第6班次上班的工作人员人数为30，其他班次均无人上班时，我们可以得出公司的劳务开支最少，最少值为87000元。

六、结果分析与检验。

由结果可知，无论分为多少个班次，当上午上班总人数为35人，下午上班总人数为30人时，既能满足超市卖场各时段所需最少服务员人数，又能使得超市总劳务开支最少，最少的劳务开支为87000元。

七、模型的优缺点。

优点：通过建立数学模型，运用优化软件lingo计算出结果，得到最优方案。这样能够方便快捷地合理分配出时间、工作量，并且能够使公司总劳务开支最少。

缺点：模型没有考虑到一些客观因素，例如：职工的表现，职工是否中途退出、生病、公司超市中途是否出现情况的变化等等客观因素。这些都会影响其模型的建立。

前景：可将其运用到很多行业合理安排时间、人数，以达到资源利用最大化等目的。例如：在医院、学校、公司等机构合理安排人员人数以及工作时间、工资，使管理者能够更好的管理。

八、参考文献。

1]姜启源、谢金星、叶俊，数学模型[m]（第三版），北京：高等教育出版社，2003。

2]刁在筠、刘桂真、宿洁、马建华，运筹学[m](第三版), 北京：高等教育出版社，2008。

3]周品、赵新芬，matlab数学建模与**[m]，北京：国防工业出版社，2009。

附录：程序1

model:

min=1200*(x1+x2)+1500*(x3+x4);

x1+x2>=30;

x1+x2>=35;

x2+x3+x4>=20;

x1+x2+x3+x4>=20;

x1+x2+x4>=30;

x3>=30;

x3+x4>=25;

x3+x4>=20;

gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);

end程序2：

model:

min =1200*(x1+x2+x3+x4+x5)+1500*(x6+x7+x8+x9) ;

x1+x2+x3+x4+x5>=30;

x1+x2+x3+x4+x5>=35;

x2+x3+x4+x5>=35;

x1+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9>=20;

x1+x2+x4+x5+x6+x7+x8+x9>=20;

x1+x3+x2+x5+x6+x7+x8+x9>=40;

x1+x3+x4+x2+x6+x7+x8+x9>=40;

x1+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9>=30;

x6+ x8+x9>=30;

x6+x7+x9>=25;

x6+x7+x8 >=25;

x6+x7+x8+x9>=20;

gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);@gin(x6);@gin(x7);@gin(x8);@gin(x9);end

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