数学建模课程设计

高速公路修建费用问题。

摘要。本文研究了高速公路修建费用问题。在建设高速公路时，要求建造费用最小，这是个关于最优化求解的问题。

根据不同地貌上建造成本的不同，找出a、b两地高速路的最低建造成本路线。以确定最便宜的路线为目标建立了非线性规划模型来确定在各个地貌交界处的汇合点。

建造总费用为各个地貌中建造公路的费用之和，在相同地貌中，建造费用与公路长度成正比，则修建高速为直线时，建造费用最少，由此可建立模型。求解过程利用matlab编程求解实现。求得各个地貌交界处的汇合点的坐标为（39,68），（50.

1,51），（65.2,38），（76.3,22），建造总费用为102590万元。

关键词：最优化；非线性规划；matlab

一、问题重述。

a城和b城之间准备建一条高速公路，b城位于a城正南90公里和正东120公里交汇处，它们之间有东西走向连绵起伏的山脉。公路造价与地形特点有关，图1给出了整个地区的大致地貌情况，显示可分为三条沿东西方向的地形带。已知每个地形带的造价如下：

已知图中ac、cd、de、ef、fo的距离分别为（单位：公里），p点坐标为：(44, 60)（坐标系原点为o，ob为x轴，oa 为y轴）

你的任务是建立一个数学模型，在给定三种地形上每公里的建造费用的情况下，确定最便宜的路线。图中直线ab显然是路径最短的，但不一定最便宜。而路径arsb过山地的路段最短，但是否是最好的路径呢？

你怎样使你的模型适合于下面两个限制条件的情况呢？

a) 当道路转弯是，角度至少为1400。

b) 道路必须通过一个已知地点（如p）。

二、模型假设。

1、假设在相同地貌中修建高速公路，建造费用与公路长度成正比；

2、假设在相同地貌中修建高速为直线。

三、符号说明。

在第个汇合点上的横坐标（坐标系原点为o，ob为x轴，oa 为y轴）＝1,2,3,4；

120（指目的地b点的横坐标）（单位：公里）；

第i段南北方向的长度（i＝1,2,3,4,5）（单位：公里）；

在第i段上地所建公路的长度（i＝1,2,3,4,5（单位：公里））。

由问题分析可知：

平原每公里的造价（单位：万元/公里）；

高地每公里的造价（单位：万元/公里）；

高山每公里的造价（单位：万元/公里）。

四、问题的建模与求解。

在a城与b城之间建造一条高速公路的问题可以转化为下面的非线性规划模型。优化目标是在a城与b城之间建造高速公路的费用。

由于在相同地貌中修建高速为直线时，可以使得建造费用最少。所以可以用勾股定理得到每个地貌中的公路长度：

因此在a城与b城之间建造高速公路的费用为各个地貌中建造公路的费用之和。

坐标系原点为o，ob为x轴，oa 为y轴，a城坐标为（0,90），目的地b城坐标为（120,0），则各个地貌交界处的汇合点的横坐标范围在0到120之间。

min4.2模型的求解。

分别取为：22公里； =17公里； =13公里； =16公里； =22公里。

平原每公里的造价＝500万元/公里；

高地每公里的造价＝800万元/公里；

高山每公里的造价＝1200万元/公里。

min采用matlab编程求解（程序见附录）。通过求解可知，使得建造费用最小的建造地点选择结果如下。

考虑过p点与角度：

x1=39，x2=50.1，x3=65.2，x4=76.3

则各个地貌交界处的汇合点坐标（39,68），（50.1,51），（65.2,38），（76.3,22）

建造总费用为102590万元。

五、模型的分析。

在建设高速公路时，总是希望建造费用最小。如果要建造的起点、终点在同一地貌中，那么最佳路线则是两点间连接的线段，这样费用则最省。因此本问题是一个典型的最优化问题，以建造费用最小为目标，需要做出的决策则是确定在各个地貌交界处的汇合点，且由题可知各个地貌交界处的汇合点的纵坐标分别为68,51,38,22，所以我们只需考虑各个地貌交界处的汇合点的横坐标。

参考文献。1] 司守奎，孙玺菁。数学建模算法与应用。北京：国防工业出版社。2011.

2] 李桂成。计算方法。北京：电子工业出版社。2005.

3] 赵静，但琦。数学建模与数学实验。北京：高等教育出版社。2008.

4] 刘仁云。数学建模方法与数学实验。北京：中国水利水电出版社。2011.

附录。clc;

clear all;

c=[500,800,1200];

l=[22,17,13,16,22];

min=1000000000000000;

px=44;

for x1=1:px;

for x2=(px+0.1):120;

if(atan(x1/22)+atan((x2-x1)/17))*180/pi>50&(atan(x1/22)+atan((x2-x1)/17))*180/pi<140

for x3=(x2+0.1):120;

if(atan((x2-x1)/17)+atan((x3-x2)/13))*180/pi>50&(atan((x2-x1)/17)+atan((x3-x2)/13))*180/pi<140

for x4=(x3+0.1):120 ;

if(atan((x4-x3)/16)+atan((x3-x2)/13))*180/pi>50&(atan((x4-x3)/16)+atan((x3-x2)/13))*180/pi<140

x5=120;

if(atan((x4-x3)/416)+atan((x3-x2)/13))*180/pi>50&(atan((x4-x3)/16)+atan((120-x4)/22))*180/pi<140

f=c(1)*sqrt(l(1)^2+x1^2) +

c(2)*(sqrt(8^2+(px-x1)^2)+sqrt(9^2+(x2-px)^2))

c(3)*sqrt(l(3)^2+(x3-x2)^2c(2)*sqrt(l(4)^2+(x4-x3)^2)+c(1)*sqrt(l(5)^2+(120-x4)^2);

if min>f

min=f;

a=[x1,x2,x3,x4,x5];

endend

end mina

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