一、线性与非线性回归模型。
1、在某产品表明腐蚀刻线，下表是试验活得的腐蚀时间（x）与腐蚀深度（y）间的一组数据。试研究两变量（x，y）之间的关系。
其中：x---腐蚀时间(秒)； 腐蚀深度（y）()
提示： 1）画出散点图，并观察y与x的关系；
2）求y关于x的线性回归方程：，求出a与b的值；
3）对模型和回归系数进行检验；
4）如：**x=120时的y的置信水平为0.95的**区间。
5）编程实现上述求解过程。
注：参考书目：1、《概率论与数理统计》，浙江大学编，高等教育出版社。
2、多元线性回归问题。
根据下述某猪场25头育肥猪4个胴体性状的数据资料，试进行瘦肉量y对眼肌面积（x1）、腿肉量(x2)、腰肉量(x3)的多元线性回归分析。
提示：1）画出散点图y与x1，y与x2，y与x3并观察y与x1，x2， x3的关系；
2）求y关于x1，x2， x3的线性回归方程：--1），求出的值；
3）对上述回归模型和回归系数进行检验；
4）再分别求y关于单个变量x1，x2, x3的线性回归方程：--2），-3）,-4）求出的值；
分别求y关于两个变量x1，x2, x3的线性回归方程：--2’)，34’）求出系数的值；并说明这六个回归方程对原来问题求解的优劣。
5）编程实现上述求解过程。
注：参考书目：1、《概率论与数理统计》，浙江大学编，高等教育出版社。
3、非线性回归问题。
给动物口服某种药物a 1000mg，每间隔1小时测定血药浓度（g/ml），得到表9-5的数据（血药浓度为5头供试动物的平均值）。血药浓度与服药时间测定结果表：
提示：1）画出散点图y与x，并观察y与x的关系；
2）求y关于x的一元线性回归方程：--1），求出的值；
3）对上述回归模型和回归系数进行检验；
4）再求y关于x的一元多项式线性回归方程。（如： -2））求出的值，并比较二个回归方程对原来问题求解的优劣。
5）编程实现上述求解过程。
注：参考书目：1、《概率论与数理统计》，浙江大学编，高等教育出版社。
二、线性规划模型。
1. 某厂生产三种产品i，ii，iii。每种产品要经过两道工序加工。
设该厂有两种规格的设备能完成工序，它们以表示；有三种规格的设备能完成工序，它们以表示。产品i可在任何一种规格设备上加工。产品ii可在任何规格的设备上加工，但完成工序时，只能在设备上加工；产品iii只能在与设备上加工。
已知在各种机床设备的单件工时，原材料费，产品销售**，各种设备有效台时以及满负荷操作时机床设备的费用如下表，要求安排最优的生产计划，使该厂利润最大。
注：参考书目：1、《运筹学》，《运筹学》教材编写组编，清华大学出版社。
2. 有四个工人，要指派他们分别完成4项工作，每人做各项工作所消耗的时间如下表：
问指派哪个人去完成哪项工作，可使总的消耗时间为最小？
注：参考书目：1、《运筹学》，《运筹学》教材编写组编，清华大学出版社。
3. 某战略轰炸机群奉命摧毁敌人军事目标。已知该目标有四个要害部位，只要摧毁其中之一即可达到目的。
为完成此项任务的汽油消耗量限制为48000升、重型炸弹48枚、轻型炸弹32枚。飞机携带重型炸弹时每升汽油可飞行2千米，带轻型炸弹时每升汽油可飞行3千米。又知每架飞机每次只能装载一枚炸弹，每出发轰炸一次除来回路程汽油消耗（空载时每升汽油可飞行4千米）外，起飞和降落每次各消耗100升。
有关数据如表所示。
为了使摧毁敌方军事目标的可能性最大，应如何确定飞机轰炸的方案，要求建立这个问题的线性规划模型。
注：参考书目：1、《运筹学》，《运筹学》教材编写组编，清华大学出版社。
三、图论模型。
1、北京（pe）、东京(t)、纽约(n)、墨西哥城(m)、伦敦(l)、巴黎(pa)各城市之间的航线距离如下表：
由上述交通网络的数据确定最小生成树。
注：参考书目：1、屈婉玲，耿素云等编著《离散数学》清华大学出版社。
2、某公司在六个城市中有分公司，从到的直接航程票价记在下述矩阵的位置上。（表示无直接航路），请帮助该公司设计一张城市到其它城市间的票价最便宜的路线图。
注：参考书目：1、屈婉玲，耿素云等编著《离散数学》清华大学出版社。
四、微分方程模型。
1、验证及改进马尔萨斯人口模型。
从1790—2024年间美国每隔10年的人口记录如表：
用以上数据拟合malthus（马尔萨斯）人口指数增长模型（注1）中参数，检验马尔萨斯(malthus)人口指数增长模型，根据检验结果进一步讨论马尔萨斯人口模型的改进。
1）按照表中的数据，用软件画出数据连线图；
2）写出微分方程（见注释）的解，代入初值，初值由上表定；
3）用数据拟合模型中的参数k ，写出人口增长方程；
4）验证你所得出的方程，分析是否完全符合现实数据（见注释的分析）；
5）给出你的改进。
注释：马尔萨斯人口模型。
马尔萨斯（1766―1834，是英国经济学家和社会学家）在研究百余年的人口统计时发现：单位时间内人口的增加量与当时人口总数是成正比的。
马尔萨斯于2024年提出了著名的人口指数增长模型。
模型的基本假设：人口的增长率是常数，或者说，单位时间内人口的增长量与当时的人口数成正比。
以表示第年时的人口数，就表示第年时的人口数。是整数，为了利用微积分这一数学工具，将视为连续、可微函数。这样有：
其中为人口的增长率，当时，由上式得。
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