2023年上半年线性代数课程第二次作业。
1. 证明方阵a与有相同的特征值。（5分）
证明： 因为。
所以与a的特征多项式相同，从而与a的特征值相同。
2.设方程a有特征值2和-1， 和，分别是对应的特征向量。试将向量表示成与的线性组合，并求。 （5分）
3.设方阵a满足证明a的特征值是0或1。（5分）
证明： 设λ是方阵a的任意一个特征值，x≠0是a的属于λ的特征向量，即 ax=λx .等式两边左乘a，利用a2=a，得到
ax=a2x=a(λx)=λax=λ2x=λx, (2－λ)x=0.
由于x≠0 ，于是λ2－λ=0 , 即 λ=0或λ=1。
4.求下列方阵的特征值及对应的线性无关特征向量： （10分）
5.设是方阵a的两个不同的特征值， 分别是对应于的特征向量。证明： 不是a的特征向量。（5分）
证明：反证法，假设是a的特征向量，则有。
a()=即a+a=+
得（-）0 推得==
这与≠相矛盾，所以不是a的特征向量。
6.设可逆方阵a 与b相似，证明： 。5分）
证明：因为a，b均为可逆矩阵，且a～b ，则存在可逆矩阵c，使得c－1ac=b，于是
b－1=(c－1ac)－1=c－1a－1(c－1)－1= c－1a－1c
即a－1～b－1。
7.第4题中哪些矩阵可对角化？哪些矩阵不能对角化？并对可对角化的矩阵a,求一个可逆矩阵p,使成为对角矩阵。 （5分）
8.设方阵a满足其中
求a及 . 5分）
解：由题意可知，矩阵a的特征值为1，0，-1，对应的特征向量为。
根据特征向量的性质知（）可逆，得a()=
可得a=（）
得a=9.设a为3阶方阵，已知方阵e-a , e+a,3e-a都不可逆。问a是否相似于对角矩阵？为什么？ （10分）
10.已知求内积 （5分）
解：因为即=1，=1，所以。
11.求一个与都正交的单位向量。 （5分）
12.设a为正交矩阵，证明：a的伴随矩阵也是正交矩阵。（5分）
证明由得a*|a|a1 所以当a可逆时有。
a*||a|n|a1||a|n10
从而a*也可逆
因为a*|a|a1 所以
a*)1|a|1a
又所以。(a*)1|a|1a|a|1|a|(a1)*(a1)*
13.设方阵 ,其中e为n阶单位矩阵， 为n维单位向量。 证明：a为对称的正交矩阵。 （10分）
14.求正交矩阵p,使成为对角矩阵，其中a为： 。10分）
15. 求二次型的标准形，并写出所作的非退化线性代换。 （10分）
解：对二次型f进行配方得。
线性代数第二次作业
第二次作业。1 设a b 1,2,3 求 ab，ba。6分 解 参考教材p12例3，具体过程从略。2.设，求3ab 2a及ab ba。8分 解 ab ba 3ab 2a ab ba 3.计算下列表达式。6分 解 原式 4.求下列行列式的值。1 3分 2 5分 解 1 略 2 原式 5.若ab ba，...
中山大学2019线性代数第二次作业
2013线性代数下半年第二次作业 涉及三四章内容 一单项选择题。1.若r维向量组线性相关，为任一r维向量，则 a a.线性相关b.线性无关 c.线性相关性不定 d.中一定有零向量。2.设两个向量组 1，2，s和 1，2，s 性相关，则 d a.有不全为0的数 1，2，s使 1 1 2 2 s s 0...
2019线性代数上半年第二次作业
2012线性代数春季非毕业班上半年第二次作业 涉及三四章内容 一单项选择题。1.若r维向量组线性相关，为任一r维向量，则 a a.线性相关b.线性无关 c.线性相关性不定 d.中一定有零向量。2.设两个向量组 1，2，s和 1，2，s 性相关，则 d a.有不全为0的数 1，2，s使 1 1 2 2...