2012线性代数春季非毕业班上半年第二次作业（涉及三四章内容）
一单项选择题。
1. 若r维向量组线性相关，为任一r维向量，则 a 。
a.线性相关b.线性无关
c.线性相关性不定 d.中一定有零向量。
2.设两个向量组α1，α2，…，s和β1，β2，…，s**性相关，则（ d ）
a.有不全为0的数λ1，λ2，…，s使λ1α1+λ2α2+…+sαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0
b.有不全为0的数λ1，λ2，…，s使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…s（αs+βs）=0
c.有不全为0的数λ1，λ2，…，s使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…s（αs-βs）=0
d.有不全为0的数λ1，λ2，…，s和不全为0的数μ1，μ2，…，s使λ1α1+λ2α2+…+sαs=0和μ1β1+μ2β2+…+sβs=0
3.设ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ a ）
a.η1+η2是ax=0的一个解b.η1+η2是ax=b的一个解。
c.η1-η2是ax=0的一个解d.2η1-η2是ax=b的一个解。
4.设a是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（ b ）
a.如存在数λ和向量α使aα=λ则α是a的属于特征值λ的特征向量。
b.如存在数λ和非零向量α，使(λe-a)α=0，则λ是a的特征值。
的2个不同的特征值可以有同一个特征向量。
d.如λ1，λ2，λ3是a的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是a的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关。
5.设λ0是矩阵a的特征方程的3重根，a的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（ a）
a. k≤3b. k<3
c. k=3d. k>3
6.时，下面方程组有无穷多解。c
a、1 b、2 c、3 d、4
7.设0是矩阵的特征值，则a=（ c ）.
a、 -1; b、0； c、1; d、2.
二．填空题。
8.设a=(aij)3×3，|a|=2，aij表示|a|中元素aij的代数余子式（i,j=1,2,3）,则(a11a21+a12a22+a13a23)2+(a21a21+a22a22+a23a23)2+(a31a21+a32a22+a33a23)2= 4 .
9. 设6阶方阵的秩为5，是非齐次线性方程组的两个不相等的解，则。
的通解为。10. 已知为的特征向量，则。
11.若齐次方程组只有零解，则应满足___
12向量组是线性__相关___填“无关”或者“相关”）的，它的一个极大线性无关组是。
三计算题。13.给定向量组α1=，α2=，α3=，α4=.
试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。
解一 所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）.
解二考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3，即
方程组有唯一解（2，1，1）t，组合系数为（2，1，1）.
14.求矩阵a=的全部特征值。并求正交矩阵t和对角矩阵d，使t-1at=d.
解 a的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为。
1=（2，-1，0）t， ξ2=（2，0，1）t.
经正交标准化，得η1=，η2=.
=-8的一个特征向量为。
3=，经单位化得η3=
所求正交矩阵为 t=.
对角矩阵 d=
也可取t=.）
15写出方程组的通解。
解： 四证明题。
16.如果线性相关，但其中任意3个向量都线性无关，证明必存在一组全不为零的数，使得。
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