运筹学案例集

运筹学的一些典型性应用。

合理利用材料问题：如何在保证生产的条件下，下料最少。

配料问题：在原料**量的限制下，如何获取最大收益。

投资问题：从投资项目中选取最佳组合，使投资回报最大。

产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大。

劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要。

运输问题：如何制定最佳调运方案，使总运费最少。

一、生产计划问题。

案例1（2-4）、某工厂用a、b、c、d四种原料生产甲、乙两种产品，生产甲和乙所需各种原料的数量以及在一个计划期内各种原料的现有数量见下表所示。又已知每单位产品甲、乙的售价分别为400元和600元，问应如何安排生产才能获得最大收益？

案例2（2-6）、某工厂在计划期内要安排ⅰ、ⅱ两种产品的生产，已知生产单位产品所需的设备台时及a、b两种原材料的消耗、资源的限制，如下表：

问题：工厂应分别生产多少单位ⅰ、ⅱ产品才能使工厂获利最多？

案例3（2-25）、某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。该公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量，数据如下表所示。

问题：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？

案例4（2-28）、永久机械厂生产ⅰ、ⅱ三种产品，均要经过a、b两道工序加工。设有两种规格的设备a1、a2能完成a工序；有三种规格的设备b1、b2、b3能完成 b 工序。ⅰ可在a、b的任何规格的设备上加工；ⅱ 可在任意规格的a设备上加工，但对b工序，只能在b1设备上加工；ⅲ只能在a2与b2设备。

上加工，数据如下表所示。

问题：为使该厂获得最大利润，应如何制定产品加工方案？

案例5、某造纸厂用原材料白坯纸生产原稿纸、笔记本和练习本三种产品。该厂现有工人100人，每月白坯纸**量为3万公斤。已知工人的劳动生产率为：

每人每月生产原稿纸30捆，或生产日记本30打，或练习本30箱。而原材料的消耗为：每捆原稿纸用白坯纸 10/3 公斤，每打笔记本用白坯纸 40/3 公斤，每箱练习本用白坯纸 80/3 公斤。

生产一捆原稿纸可获利 2 元，生产一打笔记本可获利 3 元，生产一箱练习本可获利 1 元。

问题：1）试确定在现有生产条件下的最优生产方案。

2）如白坯纸的**量不变，当工人数不足时可招收临时工，临时工的工资支出为每人每月40元，问：要不要招收临时工？

案例6（6-18）、某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供台同一规格的柴油机。已知该厂各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如下表。如果生产出来的柴油机当季不交货，每台每积压一个季度需储存、维护等费用0.

15万元。

问题：试求在完成合同的情况下，使该厂全年生产总费用为最小的决策方案。

二、套材下料问题。

案例7（2-15）、某钢筋车间制作一批钢筋（直径相同），长度为3米的100根，长度为4米的60根。已知所用的下料钢筋长度为10米，问怎样下料最省？共需多少根钢筋？

案例8（2-18）、某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9m、2.1 m、1.

5 m的圆钢各一根。已知原料每根长7.4 m，问：

应如何下料，可使所用原料最省？共需多少根原料？

案例9（2-21）、现要用100×50厘米的板料裁剪出规格分别为40×40 厘米与50×20厘米的零件，前者需要25件，后者需要30件。问如何裁剪，才能最省料？共需多少板料？

三、人力资源分配问题。

案例10、生产轮班人员的双向选择问题。

金伦化工（镇江）****为提高工作效率和增强团队的凝聚力，对28名生产操作人员进行重新分组，拟分成4组，每组7人，由1名组长和6名普通员工组成，28名生产操作人员中已有4名员工被上级任命为4个组的组长。为在24名普通员工和4位组长之间进行最有效的分组，以实现总体满意度值最高，采取了如下的评价办法。

首先，发放调查问卷，由24名普通员工对4位组长进行打分（具体打分方法和流程不在这里进行表述），评价结果如下表所示（得分越低表示满意度越高，反之亦然）：

然后，由4位组长对24名普通员工进行选择排序（具体方法和流程不在这里进行表述），评价结果如下表所示（得分越低表示满意度越高，反之亦然）：

经过综合评价，24名普通员工与4位组长之间的相互满意度值如下表所示（得分越低表示满意度值越高）：

问题：试求总体满意度值最高的分组方案。

案例11（2-9）、某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下表所示：

设司机和乘务人员分别在值班开始时报到，并连续工作八小时，问题：该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备数量最少司机和乘务人员？

案例12（2-11）、某工厂车间共50人，其中男的为30人，女的为20人，每人每天的工作效率如下表所示，在植树节当天，如何合理安排人员，使得种活的树的数量最多？

案例13（2-13）、一家中型的百货商场，它对售货员的需求经过统计分析如下表所示。为了保证售货员充分休息，售货员每周工作5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。

问题：应该如何安排售货员的作息时间，既满足工作需要，又使配备的售货员的人数最少？

案例14（7-15）、有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种文字，分别记作a、b、c、d。现在甲、乙、丙、丁四人，将中文说明书翻译成不同语种的说明书，每人做各项工作所所需支付的费用如下表所示。

问题：应如何指派工作，才能使总的费用为最少。

四、配料问题。

案例15（2-31）、某工厂要用三种原料混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，数据如下表所示。

问题：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？

案例16（2-36）、营养配餐问题。假定一个成年人每天需要从食物中获取3000卡路里热量，55克蛋白质和800毫克钙。如果市场上只有四种食品可供选择，它们每千克所含热量和营养成份以及市场**如下表所示。

问题：如何选择才能使在满足营养的前提下使购买食品的总费用最小？

案例17（2-42）、养海狸鼠饲料中营养要求：va每天至少700克，vb每天至少30克，vc每天刚好200克。现有五种饲料，搭配使用，饲料成分如下表。

问题：如何实现即满足营养要求，又使用成本最低？

五、投资问题。

案例18（2-43）、设有下面四个投资的机会：

甲：在三年内，投资人应在每年的年初投资，每年每元投资可获利息0.2元，每年取息后可重新将本息投入生息。

乙：在三年内，投资人应在第一年年初投资，每两年每元投资可获利息0.5元，两年后取息重新将本息投入生息。这种投资最多不得超过20000元。

丙：在三年内，投资人应在第二年年初投资，两年后每元投资可获利息0.6元，这种投资最多不得超过15000元。

丁：在三年内，投资人应在第三年年初投资，一年内每元投资可获利息0.4元，这种投资不得超过10000元。

问题：假定在这三年为一期的投资中，每期的开始有30000元可供投资，投资人应怎样决定投资计划，才能在第三年年底获得最高的收益。建立此问题的线性规划模型。

案例19（2-45）、某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：

项目a：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%；

项目b：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30万元；

项目c：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但规定最大投资额不能超过80万元；

项目d：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%，但规定最大投资额不能超过100万元。

据测定每万元每次投资的风险指数如下表：

问题：a）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？

b）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在。

330万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？

案例20（2-49）、**组合投资决策。

某人有一笔50万的资金可用于长期投资，可供选择的投资机会包括购买国库券、公司债券、投资房地产、购买**或银行保值储蓄等。不同的投资方式的具体参数见下表。

六、进度问题。

案例21（2-52）、某厂生产的一种产品，其需求量具有季节性，假定每年只能在连续的三个月内进行生产和销售。生产可以按正常工作时间进行，也可以加班。前二个月的月产量可以大于当月的销售量而将多余的产品存贮，但要付出存贮费；而在第三个月月末要将产品全部售完。

设产品在正常工作时间生产，每月最多能生产300单位，单位成本为75元。在加班时间生产，每月最多能生产90单位，单位成本为95元。每月生产量及平均成本不一定要相等。

存贮费每月每单位0.5元。三个月的需求量分别为和300单位。

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