1 线性规划与单纯形法。
第1节线性规划问题及其数学模型。
1.1 问题的提出。
1.1.1 引例。
例1.可取为教学参考书p8例1,或随堂构造一个相当的例子。
通过例1,得出线性规划模型的构成,并引出线性规划模型的一般形式。
1.1.2 数学模型一般形式。
其中:⑴为目标函数;⑵和⑶为约束条件;opt=max或min。
1.1.3 数学模型特征。
线性规划数学模型特征为:
解向量描述方案;
所有式子均为线性式子;
目标函数追求极大化或极小化。
1.2 **法。
1.2.1 相关概念。
1.2.1.1 函数梯度。
函数梯度方向是函数值增长最快的方向,这里以行向量描述梯度。
目标函数的梯度记为c=(c1,c2,,…cn)。
1.2.1.2 线性式子的几何意义。
线性等式代表一个超平面(二维时为一条直线);
线性不等式代表一个半空间(二维时为一个半平面)。
1.2.1.3 一些解的概念。
以数学模型一般形式为基准,介绍一些相关概念。
解:的一个值称为一个解。
可行解:满足约束条件的解。
可行域:可行解的集合。
最优解:满足⑴的可行解。
最优值:与最优解对应的目标函数值。
1.2.2 **法的步骤
1.2.2.1 确定可行域。
可行域为各约束式子对应的区域的交。
如果可行域为空集,问题无可行解,否则,问题有可行解。
1.2.2.2 确定最优方向p
1.2.2.3 确定最优解。
据p和可行域的情况,可以确定解的情况:
如果目标函数值可以趋向无穷大,则问题无有限最优解,否则可以在可行域边界上取得最优解。
1.2.3 解的情况。
讨论可行域和解(求解结果)的可能组合。
1.2.3.1 可行域为空集。
此时无可行解。
1.2.3.2可行域非空有界。
唯一最优解。
无穷多最优解。
1.2.3.3可行域非空无界。
唯一最优解。
无穷多最优解。
无有限最优解。
1.3 标准型。
1.3.1 标准型。
标准型为:标准型也可写为向量形式:
式中:;;标准型也可写为矩阵形式:
式中:。1.3.2 化标准型。
将不符合标准型要求的数学模型化为标准型。
设已得: 变换1
xj无约束——>以取代,,
xj≤0——>以取代, 。
经变换1,得如下形式的数学模型:
变换2松弛变量, 。
剩余变量, 。
经变换2,得标准型。
变换3必要时,变更变量的文字符号。
1.4 解的概念。
以标准型为基础,讨论解的概念。
基向量:构成b的系数列向量。
非基向量:a中除基向量外的系数列向量。
基变量:与基向量对应的变量。
非基变量:与非基向量对应的变量。
通过例4引出一些相关的概念。
3)顶点。设d为凸集,,且,若不能用,表示,则称为d的顶点。
定理3.若线性规划问题有可行域,则必有基本可行解。
定理4.若线性规划问题有最优解,则可以在可行域顶点上达到。
最优。定理5.最优解的凸组合仍然是最优解。
2.3 枚举法。
如果问题有最优解,则找出所有的可行基,比较对应的。
目标函数值,得最优基本可行解,作它们的凸组合得最优解。
得表达式。如果可行域非空有界,一定可以用枚举法取得最优解。
如果可行域非空无界,不一定可以用枚举法取得最优解。
第3节单纯形法。
单纯形法是求解线性规划问题的一种基本方法。
3.1 求解原理。
原理(有最优解):确定一个可行域顶点,如果尚未求得所有的。
最优顶点,则在目标函数值不劣化的前提下,寻找新顶点,直至。
求得所有的最优顶点为止。
最优顶点的凸组合代表了更多的最优解。
由于解的情况不只是有最优解一种,这样我们求解时必须。
解决下述几个问题:
假设原来的问题为,求解时的问题为(符合标准型的要求),则。
一定有可行解;
确定初始顶点的方法;
对顶点进行解的检验,要求可以判别出:
无可行解的情形;
无有限最优解的情形;
如果有最优解,则当前顶点是否最优顶点以及是否取得了。
所有的最优顶点的判别方法。
单纯形法中,对每个顶点进行解的检验,如果出现无有限最优解的特征,退出运算;当前顶点为最优顶点时,需判别是否无可行解,如果没有无可行解的特征,应判别是否取得了所有的最优顶点。
为便于对顶点的判别,应制定对应的模型格式。
顶点变换(从当前顶点出发,在目标函数值不劣化的前提下,确定新顶点);
最优顶点的凸组合。
这里只需解决问题⑴-⑷
3.2 规范型和规范标准型。
规范型和规范标准型是便于解的判别的模型格式。设为:
又设, (t=0,1,…)为第t+1个基,则关于的规范型为:
+∑t式中,为方便,也可记为,和也可采取类似记法。
下的基本解为:,0, 。
称∑t=或∑t=为下的检验数向量,
称称为xj的检验数,或称为xtj的检验数。
易知基变量的检验数为零。
若为可行基,则称为关于的规范标准型。
3.3 确定初始顶点。
3.3.1 确定。
设已得: 式中:。
可以在建模后,经由化标准型的一些步骤取得。
做下述变换:
1)对松弛变量, 。
2)对人工变量,。
3)对剩余变量, ,人工变量,。
可得(符合标准型的要求):
3.3.2 确定。
依次(依i的次序)取中的和为基向量:“≤型约束中的系数列向量,“≥型约束和“=”型约束中的系数列向量。这些向量排成一个单位矩阵,取这个矩阵为初始单位基。
如果没有引入人工变量,则=0,与相同。
令下的非基变量为零,得初始基本可行解,对应于初始顶点。
3.4 解的检验。
称∑t=或∑t=为下的检验数,其中。
易知,基变量的检验数为零。
定理6.对,若∑t ≤ 0,则为最优解。
证明:设对,有∑t ≤ 0,若不是最优解,则设最优解为,对应的≤=,矛盾。
定理7.若》0且,则无有限最优解。
证明:对,有。
和 (2)取》0,乘以(2)式两边并移项得:
将(3)加入(1)左端并整理得:
由(4)可知为:
i=1,2,…,m
ti=k0i=m+1,m+2,…,n且tik
易知为可行解,。
当,,故无有限最优解。
定理8.设为最优解,若存在非基变量,有=0且0,则。
有无穷多最优解。(注:这里)
证明:设为最优解,若存在非基变量,有=0且0,仿照定理7构造:
i=1,2,…,m
ti=k0i=m+1,m+2,…,n且tik
为使可行,取,并且只需考虑对i=1,2,…,m,有。这时有下述情形:
1),则;2)>0,若取,则。
则为基本可行解,,从而也是最优解,进而也是最优解,定理得证。
定理9.设中有人工变量,若为最优解且其中人工变量不全为零,则无可行解。
证明:设中有人工变量、为最优解且其中人工变量不全为零。
设有可行解,为中与之对应的可行解,,由于中人工变量一定取零值,因此优于,矛盾。
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