摘要。运筹学是一门以人机系统组织、管理为对象，应用数学计算机等工具，来研究各类优先资源的合理规划使用并提供优化决策方案的科学。通过对数据的调查、收集与统计分析，以及具体模型的建立。收集和统计上述拟定模型所需要的各种基础数据，并最终将数据整理形成分析和解决问题的具体模型。
此题研究的主要内容是根据单位金属罐产品所需加工时间、利润及可利用工时和使金属罐铸造厂生产计划达到最优化进行合理规划。目的是依据各种金属罐所需的加工时间和可利用工时的使用情况，规划各种金属罐的最优利润，及最优生产计划。
根据提出的问题，建立相应的模型，运用运筹学计算软件（主要是指lindo软件）求解所建立的运筹学模型。
结合模型的特点，对模型的求解进行了讨论和分析：如果增加一种金属罐的生产，相应的产品总利润是否能得到提高；讨论金属罐在流程中各个阶段所需的加工时间范围，对生产计划进行重新调整，使总利润达到最优；市场上b型金属罐是有需求的，但由于该型金属罐不产生经济效益，所以在原先的最优生产计划中，不允许生产b型金属罐，要使b型金属罐产生效益，那么生产b型金属罐的利润就要提高。
将模型应用于案例的背景问题，得出相应的最优决策方案，就可以对问题一一进行解答。
关键词：统计分析，线性规划，灵敏度分析，最优决策。
目录。1问题的提出 3
2生产主要过程 3
3数学模型的建立 3
3.1基础数据的确定 3
3.2变量的设定 4
3.3目标函数的建立 4
3.4限制条件的确定 4
3.5模型的求解 5
4计算结果的简单分析 5
5生产计划的优化后分析（灵敏度分析） 6
5.1评价新的生产过程 6
5.2 b型金属罐投产的条件研究 7
5.3关于可利用工时的优化分析 9
6结论及建议 10
参考文献 11
附录。1问题的提出。
北方某金属罐铸造厂生产计划的优化分析。
北方某金属罐铸造厂历史悠久，一直是制造各类金属罐的专业厂家。其主要产品有4中，遵照厂家的意见，分别用代号a、b、c、d表示，产品销售情况良好，市场对这4种产品的需求量很大，而且**结果表明，需求还有进一步扩大的趋势，但有些客户希望能有更多的不同功能的新产品问世，至少对原产品在现有基础上加以改进以满足某些特殊需要。这就面临着进一步扩大在生产，努力开发适销对路新产品的问题。
已经做的一些基础工作是：对引进新的制罐技术和生产线有关资料和信息的调查和整理；对目前生产计划情况的成本核算及分析等等。
但对如何调整当前的生产计划？是否下决心引进新技术和生产线？开发出来的新产品何时投入批量生产和正式投产最为有利？
等一系列问题尚缺乏科学的、定量的决策依据。而厂里目前最关心的是资源问题，主要是各种加工设备的生产能力情况。关于生产计划的优化后分析就是在这样的背景下提出来的。
为了研究这个问题，首先必需将现有的4种主要产品生产的简单过程及生产计划的有关资料熟悉一下。
2生产主要过程。
生产a、b、c、d4种金属罐主要经过4个阶段：第1阶段是冲压：金属板经冲压机冲压，制造成金属罐所需要的零件；第2阶段是成形：
在该车间里把零件制成符合规格的形状；第3阶段是装配：在装配车间，各种成形的零件按技术要求焊接在一起成为完整的金属罐；最后阶段是喷漆：装配好的金属罐送到喷漆车间被喷上防火的瓷漆装饰外表。
3数学模型的建立。
根据工艺要求及成本核算单位产品所需的加工时间、利润以及可供使用的总工时如表1-1所示。
表1-1 单位产品所需加工时间、利润及可利用工时表。
该厂仅有一台冲压机，每天工作8h，共计480min可供加工用；另有若干个成形中心、装配中心、喷漆中心分属各车间，除承担本厂生产任务外，还承担着科研实验，新产品开发试制等项工作，因此这些生产中心每天可利用的总计时间分别不超过2400min、2000min和3000min。
现设置上述问题的决策变量如下：
x1为a型金属罐的日产量；
x2为b型金属罐的日产量；
x3为c型金属罐的日产量；
x4为d型金属罐的日产量。
将目标函数取为每天的产品总利润，就可得出关于日产品计划的线性规划模型：
极大化z=9x1+6x2+11x3+8x4
约束条件：1）x1+x2+x3+x4<=480
2）4x1+8x2+2x3+5x4<=2400
3）4x1+2x2+5x3+5x4<=2000
4）6x1+4x2+8x3+4x4<=3000
x1>=0
x2>=0
x3>=0
x4>=0
利用线性规划计算软件lindo进行求解，结果如下：
lp optimum found at step 3
objective function value
variable valuereduced cost
x1 400.0000000.000000
x2 0.0000000.500000
x3 70.0000000.000000
x4 10.0000000.000000
row slack or surplus dual prices
no. iterations= 3
计算所得的最优解为：
x1=400，x2=0，x3=70，x4=10
目标函数最优值为：z=4450。
这就是说，为了使日产品总利润最大，每天的生产计划应如下安排：生产a型金属罐400个，c型金属罐70个，d型金属罐10个而不生产b型金属罐。这样日产品总利润可达4450元。
4计算结果的简单分析。
1.计算结果表中有4个松弛变量，其中s1=s3=s4=0，s2=610。这说明冲压、装配和喷漆3个工序可利用的加工时间全部用完，唯有成形工序还剩余610min时间闲置而未被利用。
2.分析相应的机会成本，即原线性规划的对偶最优解可知：冲压时间的机会费用是2.
5元，装配时间的机会费用是0.5元，喷漆时间的机会费用是0.75元，其经济意义是上述3种时间资源每减少（或增加）1min，分别会使总利润下降（或增加）2.
5元、0.5元和0.75元。
而成形时间的机会费用为0，即无论时间增减，对总利润均不产生影响。这与成形工序有闲置的610未被利用的事实是一致的。另外还可以看出冲压时间的机会费用最高为2.
5元，这就意味着冲压工序是当前生产的关键所在，设法增加冲压可利用时间将使产品总利润得到较大的提高。
5生产计划的优化后分析（灵敏度分析）
为了满足市场需求，不断开发新产品，该厂计划引进1种新型金属罐技术，生产e型金属罐。根据设计、计算得知生产1个e型金属罐需要1min冲压时间，2min成形时间，6min装配时间，12min喷漆时间，单位产品利润为13元。在试制及制定生产计划之前，需要研究其投产效果，以便作出是否投产这一决策。
讨论的目的是，增加一个新产品时对原生产计划有无影响？相应的产品总利润是否能得到提高。
不妨设x5为e型金属罐的产量，数学模型为：
z=9x1+6x2+11x3+8x4+13x5
stx1+x2+x3+x4+x5<=480
4x1+8x2+2x3+5x4+2x5<=2400
4x1+2x2+5x3+5x4+6x5<=2000
6x1+4x2+8x3+4x4+12x5<=3000
利用lindo计算求解，结果如下：
objective function value
variable valuereduced cost
x1 400.0000000.000000
x2 0.0000000.500000
x3 70.0000000.000000
x4 10.0000000.000000
x5 0.0000001.500000
row slack or surplus dual prices
no. iterations= 3
这表明，e型金属罐如果安排生产，每生产1件就会使总利润降低1.5元（即x5的机会成本）。换言之，e型金属罐的投产将无利可图。
因此，在作决策——e型金属罐是否投产之前，就需要慎重考虑，至少在目前生产e型金属罐对铸造厂在经济效益上没有好处。
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