信号处理作业

200622120137 硕603班栗娜。

思考题：傅立叶变换是一种什么模型，在什么情况下傅立叶变换不适合？

答：傅立叶变换将满足一定条件的某个函数表示成很多正弦函数的线性组合或者积分。

傅立叶变换具有正交性、完备性等很多有点。但是，傅立叶变换有其明显的缺点，就是没有时间局部信息，信号任何时刻的微小变化就会牵动整个频谱，任何有限段上的信息都不足以确定在任意时间小范围的函数。实际上，实时信号往往是时变、非平稳过程，了解它们的局部特性是很重要的，此时傅立叶变换就不适合了。

为了观察信号的局部特性，可以使用加窗傅立叶变换改进，但其时－频窗大小固定，无法克服时间分辨率与频率分辨率之间的矛盾。小波变换具有时频局部化特性，在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，时窗和频窗的宽度可以调节，很适合检测到突变信号和非平稳信号。

2.1 计算、程序、结果图。

计算：m=2时，

是四个iid的随机变量，在(-0.5,0.5)内均匀分布，其均值为0，方差为。

的概率密度函数为：

其均值为0，方差为1/6

依次类推，m=3时，, 均值为0,方差1/4

m=4时，, 均值为0,方差1/3.

注：为卷积。

程序中对于m=2,3,4的pdf图形均选择了具有相同均值与方差的高斯分布函数与之相比较。根据中心极限定理，当满足随机变量是相互独立的、数学期望和方差都是有限的条件时，其总和的分布是以正态分布为其极限分布。故随着m值的增大，其分布应越来越接近正态分布。

程序：clf;

t1=-0.5:.01:0.5;

y=ones(size(t1));

subplot(221)

plot(t1,y,'-b');

title('m=1');

g2=conv(y,y)*0.01;

t2=-1:.01:1;

subplot(222);

g2=normpdf(t2,0,sqrt(1/6));

plot(t2,g2,'-b',t2,g2,':r');

title('m=2');

g3=conv(y,g2)*0.01;

t3=-1.5:.01:1.5;

subplot(223);

g3=normpdf(t3,0,1/2);

plot(t3,g3,'-b',t3,g3,':r');

title('m=3');

g4=conv(y,g3)*0.01;

t4=-2:.01:2;

subplot(224);

g4=normpdf(t4,0,sqrt(1/3));

plot(t4,g4,'-b',t4,g4,':r');

title('m=4');

结果图：根据实验结果看出，符合理论，随着m值的增大，函数趋向高斯分布。

2．2 解：

a)的分布密度为：

b) 证明：令。其中

2．3 解。

令其为0，得，

当时，为特征值为2时对应特征向量。

当时。为特征值为4时对应的特征向量。

将特征向量单位化后得：

正交变换为：

将原函数经过变换化为。

意义：基于特征矢量的信号分解，将信号投影在相互正交的坐标轴上，将复杂的信号分解为简单、方便的形式，便于后期的信号处理。可通过将未知信号与已知信号的特征值及特征向量相比较方便得出信号的相似程度，方便进一步应用。

另外若信号混杂有噪声，根据特征值的大小，可方便减弱噪声的影响。此种变换方式简捷方便，利于工程应用。

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