一、二、1.40； 2.；3.； 4. 2； 5.6 ； 6.。
三、解：先将原矩阵方程化为，即。由于。
从而，因此可逆。于是。
四、解：根据行列式的特点。
当。五、解： 将方程组的增广矩阵经初等行变换化为。
由此得：1） 当时，，方程组有唯一解；
2）当时，，方程组无解；
3）当时，，方程组有无穷多个解；其一般解为。
由此得到方程组的全部解为。
六、解：（1）对于任意的实数，有。
整理得。而，所以。
于是。已知向量组线性无关，必有。
所以，那么向量组也线性无关。
2）由于，以每个向量作为矩阵的行向量，并对矩阵进行行的初等变换，将其变为行阶梯矩阵。
所以该向量组是线性相关的，并且其一个极大线性无关组为。
七、解：（1）对于任意的及任意的实数，有，所以是的一个子空间。
2）因为，所以线性方程组的基础解系含有个解向量，设其为。那么的维数是，它的一组基是：，
八、解：二次型对应的矩阵。
特征多项式。
特征值 当时，求得两个线形无关的特征向量为，规范正交化后得。
当时，特征向量为，单位化后得。
故在变换下，二次型标准型为。
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