一．填空题。
4．收敛， 5.
二．计算题。
1. 设。试求：（1）的基与维数；（2）的基与维数；
解答】（1），可知是向量组的极大无关组，故它是的基，且。
2） 设，即且，于是。
将的坐标代入求解得。
于是。所以的基为，维数是1.
2. 设多项式空间有两组基为。
线性空间满足。
1） 求在基下的矩阵；
2） 求在基下的矩阵；
3） 设，求。
解答】、1）则，则；
2）到的过度阵为，在基下的矩阵，则在基下的矩阵；
3），设，则。
则。3. 设，求：
1) 可逆阵和的jordan标准形，使；
2）求矩阵函数。
解答】取，由知。解得。
4. 求的奇异值分解。
解答】解：法1：
的特征值是，对应的特征向量依次是。
于是可得ranka=2，，，
此时。则a的奇异值分解为。
法2的特征值是，对应的特征向量依次是。
于是可得ranka=2，，，此时。
取，构造正交矩阵。
则a的奇异值分解为。
5. 设，为是对称阵，为维向量，为常数，求对的导数。
三． 证明题。
1.(8分)设，且，证明。
1）的特征值为0或1；
解答】1）设为p的特征值，x为对应的特征向量，则，从而，再由，得到，即，从而或。
2）对，，使得，则。
所以，即。对，则，有，所以，即。
综上所述，。
2. (7分) 若矩阵对某个算子范数满足，证明：1）可逆。
2）已知，则。
解法1：】证明：反证。若不可逆，则齐次方程组有非零解，即存在非零向量，使得。即，则。矛盾，从而可逆。
所以，两边同时取范数，有。
得到。故的每个分量被一个收敛的几何级数所控制，则必定收敛。
所以，当时，收敛于s，并且当时，
因为，所以。
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