矩阵论a 参考标准答案。
一．填空题（每题3分，共30分）
二．计算题（60分）
1．（15分）用酉变换将埃尔米特二次型化为标准型。
解：1） 写出二次型对应的埃尔米特矩阵。
2） 求解矩阵的特征值。
故得其特征为：，，
3） 求解每个特征值对应的特征向量。
利用特征方程求解：
利用初等变换求解线性方程组，由，故得；由。故得；
由。故得。
4） 求酉变换。
正交化：由（3）可知：
即为两两正交向量组。
单位化：，
得酉变换。2. （15分）对方程组：
1）求的满秩分解。
2）计算；3）求该方程组的全部最小二乘解和最小2－范数最小二乘解。
解。1）（不唯一）
3）全部最小二乘解及最小二乘最小二范数解为。
3.（10分）设，求（1）矩阵的smith标准型；（2）矩阵的jordan标准型。
解：1）由。
得矩阵的smith标准型为。
2）由（1）可知矩阵的jordan标准型为：
4.（10分）已知矩阵，，求。
解：其中，
且， ，即。
5（10分）设求计算和。
解法一：令。
由，可得：
当时，解得 ，
因此。当时，解得 ，因此。
解法二：的jordan标准型为，利用可求得相应的相似变换阵为。
因此。当时，解得
当时，解得。
三．证明题（10分）
1，（5分）中，线性变换在某一基下的矩阵为a，且a的特征多项式为。
令，证明是a的不变子空间，且．
证 ，可见是a的特征值的特征子空间，是a的不变子空间．当时，则存在，使，则存在，使，于是有，且是a的不变子空间，，故．2.（5分）设，证明：
证明设，为的行，则。
所以。特别地取等。得。从而。
2019矩阵论B答案
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矩阵论答案习题
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2019矩阵论试题
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