专题二二次函数的应用。
二次函数是反映现实世界中变量间的数量关系和变化规律的常见的数学模型．将实际问题中的变量关系转化成二次函数后，就可以利用二次函数的图象和性质加以解决，其关键是从实际问题中抽象出数学模型．
一、以现实的生活为背景，通过对投掷、跳水、跳远、拱桥、隧道等“抛物线”的**，建立合理的平面直角坐标系，利用待定系数确定二次函数的表达式。
例1 如图7，三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度ab＝20米，顶点m距水面6米（即mo＝6米），小孔顶点n距水面4.5米（nc＝4.5米）．当水位**刚好淹没小孔时，借助图8中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度ef．
分析：如图8，由这个实际问题抽象出的数学模型题目已经给出，观察图象可知抛物线的对称轴为y轴，顶点为（0，6），故可设函数关系式为y=ax2+6．又因为ab＝20，所以ob＝10，故b（10，0）又在抛物线上，可代入求值．
解：设抛物线所对应的函数关系式为y=ax2+6．
依题意，得b（10，0）．
所以a×102＋6＝0．
解得a=-0.06．即y=-0.06x2+6．
当y=4.5时，-0.06x2+6=4.5，解得x=±5．
所以df＝5，ef＝10．
即水面宽度为10米．
例2 如图9所示，一位运动员在距篮圈中心水平距离4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运动的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.
05米．求抛物线的关系式．
分析：函数图象的对称轴为y轴，故设篮球运行的路线所对应的函数关系式为y=ax2+k（a≠0，k≠0）．
解：设函数关系式为y=ax2+k（a≠0），由题意可知，a、b两点坐标为（1.5，3.05），（0，3.5）．
则解得a=-0.2，所以抛物线对应的函数关系式为y=-0.2x2+3.5．
二、在几何图形中，利用图形的面积、相似三角形等有关知识获得y与x的关系式。
例3 如图10，在矩形abcd中，ad＝12，ab＝8，**段bc上任取一点p，连接dp，作射线pe⊥dp，pe与直线ab交于点e．
（1）设cp＝x，be＝y，试写出y关于x的函数关系式．
（2）当点p在什么位置时，线段be最长？
析解：在几何图形中，求函数关系式时，通常把两个变量放入两个图形，利用两个图形相似，或者在一个图形中利用面积建立它们之间的数量关系．本题要求y与x之间的关系式，通过观察可以发现y、x分别是△bpe、△cdp的边，而且由∠epb＋∠dpc＝90°，∠dpc＋∠pdc＝90°，可得∠epb＝∠pdc，又由∠b＝∠c＝90°，容易得到△bpe∽△cdp．
所以有．即．
故y关于x的函数关系式为．
当时，y有最大值，．
即当点p距点c为6时，线段be最长．
例4 某班数学兴趣小组在社会实践活动中，进行了如下的课题研究：用一定长度的铝合金材料，将它设计成外观为长方形的三种框架，使长方形框架面积最大．小组讨论后，同学们设计了三种铝合金框架，图案如图（3），请你根据以下图案回答下列问题：（题中的铝合金材料总长度均各指图11中所有黑线的长度和）
（1）在图案（1）中，如果铝合金材料总长度为6m，当ab为1m时，长方形框架abcd的面积是___m2；
（2）图案（2）中，如果铝合金总长度为6m，设ab为xm，长方形框架abcd的面积为sm2，那么s＝__用含x的代数式表示）；当ab＝__m时，长方形框架abcd的面积s最大，在图案（3）中，如果铝合金材料总长度为lm，当ab＝__m时，长方形框架abcd的面积s最大．
（3）在经过这三种情况的试验后，他们发现对于图案（4）这样的情形也存在着一定的规律．探索：如图（4），如果铝合金材料长度为lm，共有n条竖档，那么当竖档ab长为多少时，长方形框架abcd的面积s最大．
分析：解此类问题通常是建立面积与线段长的函数关系式，然后利用二次函数的图象或性质求最大值（或最小值），在这类问题中常用到下列图形的面积公式：三角形、矩形、正方形、平行四边形、梯形和圆等．
解：（1）；
（3）设ab长为xm，那么ad为，．
当时，s最大．
注：关于二次函数的实际应用，体现在生活中的方方面面，在此我们不再一一列举，关键是同学们掌握这种处理实际问题的思路，达到举一反三的效果，不管题目背景如何变化，但它万变不离其宗，只要我们有了这种方法，任何问题都可以迎刃而解．
专题训练（二）
1．如图12所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位ab时，宽20m，水位上升3m就达到警戒线cd，这时水面宽度为10m．
（1）在如图12的坐标系中求抛物线所对应的函数关系式；
（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时就能到达拱桥顶？
2．工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等．
（1）该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？
（2）若每件工艺品按（1）中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品100件．若每件工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件．问每件工艺品降价多少元**，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元？
3．如图13，足球场上守门员在o处开出一高球，球从离地面1米的a处飞出（a在y轴上），运动员乙在距o点6米的b处发现球在自己头的正上方达到最高点m，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的函数关系式．
（2）足球第一次落地点c距守门员多少米？（取）．
（3）运动员乙要抢到第二个落点d，他应再向前跑多少米？（取）．
4．如图14，在边长为6cm的正方形abcd中，点e、f、g、h分别按，，，的方向同时出发，以1cm/s的速度匀速运动．
（1）在运动中，点e、f、g、h所形成的四边形efgh为（ ）
a．平行四边形 b．矩形 c．菱形 d．正方形。
（2）四边形efgh的面积s（cm2）随运动时间t（s）变化的图象大致是（ ）
（3）写出四边形efgh的面积s（cm2）关于运动时间t（s）变化的函数关系式，并求运动几秒钟时，面积最小？最小值是多少？
5．南博汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为25万元，市场调研表明：当销售价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．如果设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元．（销售利润＝销售价－进货价）
（1）求y与x的函数关系式；在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；
（2）假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；
（3）当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？
参***：1．解：（1）设所求抛物线的函数关系式为：，设，把的坐标分别代入，得。
解得所以．2）因为，所以（小时）．
所以再持续5小时到达拱桥顶．
2．解：（1）设工艺品每件的进价是元**，每天获得的利润为元．根据题意，得。
故每件工艺品降价10元**，每天获得的利润最大，获得的最大利润是4 900元．
3．解：（1）如图，设第一次落地时，抛物线所对应的函数关系式为．
由已知：当时，．
即．所以．所以（或）．
2）令，．所以．
即，（舍去）．
所以足球第一次落地距守门员约13米．
3）如图，第二次足球弹出后的距离为，根据题意，得（即相当于将抛物线向下平移了2个单位）．
所以．解得，．
所以， 所以（米）．
4．解：（1）d；（2）b；
所以．当运动3秒钟时，有最小值为18cm2．
5．解：（1）因为，所以．
3）因为当时，．
所以当定价为万元时，有最大利润，最大利润为50万元．
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