第27章相似。
一、 选择题
1. 如图，在直角梯形abcd中，ad∥bc，∠abc=90°，ab=8，ad=3，bc=4，点p为ab边上一动点，若△pad与△pbc是相似三角形，则满足条件的点p的个数是（）
a．1个 b．2个 c．3个 d．4个
2. 如图，o是△abc的外接圆的圆心，∠abc=60°，bf，ce分别是ac，ab边上的高且交于点h，ce交⊙o于m，d，g分别在边bc，ab上，且bd=bh，bg=bo，下列结论：①∠abo=∠hbc；②abbc=2bfbh；③bm=bd；④△gbd为等边三角形，其中正确结论的序号是（）
a．①②b．①③c．①②d．①②
3. 如图，点a，b，c，d的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以c，d，e为顶点的三角形与△abc相似，则点e的坐标不可能是（ ）
a．（6，0） b．（6，3） c．（6，5） d．（4，2）
4. 下列图形相似的是
放大镜下的**与原来的**；幻灯的底片与投影在屏幕上的图象；天空中两朵白云的**；卫星上拍摄的长城**与相机拍摄的长城**．
a．4组 b．3组 c．2组 d．1组
5. 如果两个相似多边形面积的比为1：5，则它们的相似比为（）
a．1：25 b．1：5 c．1：2．5 d．
6. 如图，已知△abc和△ade均为等边三角形，d在bc上，de与ac相交于点f，ab＝9，bd＝3，则cf等于（ ）
a．1 b．2 c．3 d．4
7. △abc与△a 1 b 1 c 1 相似，相似比为2∶3，△a 1 b 1 c 1 与△a 2 b 2 c 2 相似，相似比为6∶5，则△abc与△a 2 b 2 c 2 的相似比为… (
a．2∶5 b．4∶ 5 c ．5∶9 d．3∶5
8. 如下图，不相似的图形有( )
a．1组 b．2组。
c．3组 d．4组
9. 如图，在abcd中，点e是边ad的中点，ec交对角线bd于点f，则ef：fc等于（）
a．3：2 b．3：1 c．1：1 d．1：2
10. 如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及 x ,那么 x 的值（ ）
a.只有1个 b.可以有2个
c.有2个以上但有限 d.有无数个
11. 如图，在□abcd中，点e为ad的中点，连接be交ac于点f，则af∶cf=（
a．1∶2 b．1∶3 c．2∶3 d．2∶5
12. 如图，△abc中，点d、e分别是ab、ac的中点，则下列结论：①bc＝2de；②△ade∽△abc；③ 其中正确的有
a、3个 b、2个 c、1个 d、0个
二、填空题
13. 如图，已知co 1 是△abc的中线，过点o 1 作o 1 e 1 ∥ac交bc于点e 1 ，连接ae 1 交co 1 于点o 2 ；过点o 2 作o 2 e 2 ∥ac交bc于点e2，连接ae 2 交co 1 于点o 3 ；过点o 3 作o 3 e 3 ∥ac交bc于点e 3 ，…如此继续，可以依次得到点o 4 ，o 5 ，…o n 和点e 4 ，e 5 ，…e n ．则o n e n = ac．（用含n的代数式表示）
14. 已知两相似三角形对应高之比是12，则它们的面积之比为 ．
15. 如图，在平面直角坐标系中，△abc的顶点坐标分别为（4，0）（8，2），（6，4）。已知△a 1 b 1 c 1 的两个顶点的坐标为（1，3），（2，5）。
若△abc与△a 1 b 1 c 1 位似，则△a 1 b 1 c 1 的第三个顶点的坐标为 .
16. 如图所示，已知 rt △ acb 中， ac =3, bc =4,过直角顶点 c 作 ca 1 ⊥ ab ,垂足为 a 1 ,再过 a 1 作 a 1 c 1 ⊥ bc ,垂足为 c 1 ,…这样一直作下去得到了一组线段 ca 1 , a 1 c 1 , c 1 a 2 ,…则第10条线段 a 5 c 5
17. 如图，点c在以ab为直径的半圆上，ab=8，∠cba=30°，点d**段ab上运动，点e与点d关于ac对称，df⊥de于点d，并交ec的延长线于点f．下列结论：①ce=cf；②线段ef的最小值为 ；③当ad=2时，ef与半圆相切；④若点f恰好落在bc上，则ad= ；当点d从点a运动到点b时，线段ef扫过的面积是 ．其中正确结论的序号是 ．
三、解答题
18. （本题满分10分）如图，△abc中，ab=ac= ，cosc= ．
1）动手操作：利用尺规作以ac为直径的⊙o，并标出⊙o与ab的交点d，与bc的交点e（保留作图痕迹，不写作法）；
2）综合应用：在你所作的图中，
求证： ；求点d到bc的距离．
19. 如图，在平面直角坐标系中，直线l平行x轴，交y轴于点a，第一象限内的点b在l上，连结ob，动点p满足∠apq=90°，pq交x轴于点c．
1）当动点p与点b重合时，若点b的坐标是（2，1），求pa的长．
2）当动点p**段ob的延长线上时，若点a的纵坐标与点b的横坐标相等，求pa：pc的值．
3）当动点p在直线ob上时，点d是直线ob与直线ca的交点，点e是直线cp与y轴的交点，若∠ace=∠aec，pd=2od，求pa：pc的值．
20. 已知在平面直角坐标系xoy中，o是坐标原点，以p（1，1）为圆心的⊙p与x轴，y轴分别相切于点m和点n，点f从点m出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接pf，过点pe⊥pf交y轴于点e，设点f运动的时间是t秒（t＞0）
1）若点e在y轴的负半轴上（如图所示），求证：pe=pf；
2）在点f运动过程中，设oe=a，of=b，试用含a的代数式表示b；
3）作点f关于点m的对称点f′，经过m、e和f′三点的抛物线的对称轴交x轴于点q，连接qe．在点f运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点q、o、e为顶点的三角形与以点p、m、f为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
21. 已知：rt△a′bc′≌rt△abc，∠a′c′b=∠acb=90°，∠a′bc′=∠abc=60°，rt△a′bc′可绕点b旋转，设旋转过程中直线cc′和aa′相交于点d．
1）如图1所示，当点c′在ab边上时，判断线段ad和线段a′d之间的数量关系，并证明你的结论；
2）将rt△a′bc′由图1的位置旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
3）将rt△a′bc′由图1的位置按顺时针方向旋转α角（0°≤α120°），当a、c′、a′三点在一条直线上时，请直接写出旋转角的度数．
22. 阅读下列短文，并回答下列问题：我们把相似的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，我们就把它们叫作相似体．
如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比( a ∶ b )，设s 甲 ，s 乙分别表示这两个正方体的表面积，则 ．又设v 甲 ，v 乙分别表示这两个正方体的体积，则 ．
1）下列几何体中，一定属于相似体的是( )
a．两个球体 b．两个圆锥体
c．两个圆柱体 d．两个长方体
2）请归纳出相似体的三个主要性质：①相似体的一切对应线段(或弧)的比等于相似体的表面积的比等于相似体的体积比等于。
23. 如图，在对rt△oab依次进行位似、轴对称和平移变换后得到△o′a′b′.
1）在坐标纸上画出这几次变换相应的图形；
2）设p（x，y）为△oab边上任一点，依次写出这几次变换后点p对应点的坐标。
答案。一、选择题。
1、c． 2、 d 3、 b． 4、c 5、 d． 6、 b． 7、b 8、a 9、 d． 10、b 11、 a． 12、 a.
二、填空题。
15、 （3，4）或（0，4）
三、解答题。
18、 （1）作图见试题解析；（2）①证明见试题解析；②
解析】 试题分析：（1）先作出ac的中垂线，再画圆；
2）边接ae，ae是bc的中垂线，∠dae=∠cae，得出 ；
3）利用△bde∽△bca求出bd，再利用余弦求出bm，用勾股定理求出dm．
试题解析：（1）如图，
2）如图，连接ae，
ac为直径，∴∠aec=90°，
ab=ac，∴∠dae=∠cae，∴
3）如图，连接ae，de，作dm⊥bc交bc于点m，
ac为直径，∴∠aec=90°，
ab=ac= ，cosc= ，ec=be=4，∴bc=8，
点a、d、e、c共圆，∴∠ade+∠c=180°，
又∵∠ade+∠bde=180°，∴bde=∠c，∴△bde∽△bca，
，即bdba=bebc，∴bd× =4×8，∴bd= ，
∠b=∠c，∴cos∠c=cos∠b= ，bm= ，
dm= =19、（1）∵点p与点b重合，点b的坐标是（2，1），∴点p的坐标是（2，1）．∴pa的长为2．
2）如答图1，过点p作pm⊥x轴，垂足为m，过点p作pn⊥y轴，垂足为n，
点a的纵坐标与点b的横坐标相等，∴oa=ab．
∠oab=90°，∴aob=∠abo=45°．
∠aoc=90°，∴poc=45°．
pm⊥x轴，pn⊥y轴，∴pm=pn，∠anp=∠cmp=90°．∴npm=90°．
∠apc=90°．∴apn=90°∠apm=∠cpm．
在△anp和△cmp中，∵∠apn=∠cpm，pn=pm，∠anp=∠cmp，
△anp≌△cmp．∴pa=pc．∴pa：pc的值为1：1．
3）①若点p**段ob的延长线上，如答图2，过点p作pm⊥x轴，垂足为m，过点p作pn⊥y轴，垂足为n，pm与直线ac的交点为f．
∠apn=∠cpm，∠anp=∠cmp，∴△anp∽△cmp．∴
∠ace=∠aec，∴ac=ae．
ap⊥pc，∴ep=cp．
pm∥y轴，∴af=cf，om=cm．∴fm= oa．
设oa=x，∵pf∥oa，∴△pdf∽△oda．∴
pd=2od，∴pf=2oa=2x，fm= x．∴pm= x．
∠apc=90°，af=cf，∴ac=2pf=4x．
∠aoc=90°，∴oc= x．
∠pno=∠nom=∠omp=90°，∴四边形pmon是矩形．∴pn=om= x．
pa：pc=pn：pm= x： x= ．
若点p**段ob的反向延长线上，如答图3，过点p作pm⊥x轴，垂足为m，过点p作pn⊥y轴，垂足为n，pm与直线ac的交点为f．
同理可得：pm= x，ca=2pf=4x，oc= x．
pn=om= oc= x．
pa：pc=pn：pm= x： x= ．
综上所述：pa：pc的值为或 ．
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