4.2 相交线和平行线典型例题及强化训练。
课标要求。了解对顶角，知道对项角相等。
了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义。
知道过一点有且仅有一条直线垂直干已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。
知道两直线平行同位角相等，进一步探索平行线的性质。
知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线，会用角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。
体会两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离。
典型例题。1.判定与性质。
例1 判断题：
1)不相交的两条直线叫做平行线。
2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行。
3)两直线平行，同旁内角相等。
4)两条直线被第三条直线所截，同位角相等。
答案：(1)错，应为“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”。
2)错，应为“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”。
3)错，应为“两直线平行，同旁内角互补 ”。
4)错，应为“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”。
例2 已知：如图，ab∥cd，求证：∠b+∠d=∠bed。
分析：可以考虑把∠bed变成两个角的和。如图5，过e点引一条直线ef∥ab，则有∠b=∠1，再设法证明∠d=∠2，需证。
ef∥cd，这可通过已知ab∥cd和ef∥ab得到。
证明：过点e作ef∥ab，则∠b=∠1（两直线平行，内错角相等）。
∵ab∥cd（已知），又∵ef∥ab（已作），∴ef∥cd（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
d=∠2（两直线平行，内错角相等）。
又∵∠bed=∠1+∠2，bed=∠b+∠d（等量代换）。
变式1已知：如图6，ab∥cd，求证：∠bed=360°-（b+∠d）。
分析：此题与例1的区别在于e点的位置及结论。我们通常所说的∠bed都是指小于平角的角，如果把∠bed看成是大于平角的角，可以认为此题的结论与例1的结论是一致的。
因此，我们模仿例1作辅助线，不难解决此题。
证明：过点e作ef∥ab，则∠b+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵ab∥cd（已知），又∵ef∥ab（已作），∴ef∥cd（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
d+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
b+∠1+∠d+∠2=180°+180°（等式的性质）。
又∵∠bed=∠1+∠2，b+∠d+∠bed=360°（等量代换）。
bed==360°-（b+∠d）（等式的性质）。
变式2已知：如图7，ab∥cd，求证：∠bed=∠d-∠b。
分析：此题与例1的区别在于e点的位置不同，从而结论也不同。模仿例1与变式1作辅助线的方法，可以解决此题。
证明：过点e作ef∥ab，则∠feb=∠b（两直线平行，内错角相等）。
∵ab∥cd（已知），又∵ef∥ab（已作），∴ef∥cd（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
fed=∠d（两直线平行，内错角相等）。
bed=∠fed-∠feb，bed=∠d-∠b（等量代换）。
变式3已知：如图8，ab∥cd，求证：∠bed=∠b-∠d。
分析：此题与变式2类似，只是∠b、∠d的大小发生了变化。
证明：过点e作ef∥ab，则∠1+∠b=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵ab∥cd（已知），又∵ef∥ab（已作），∴ef∥cd（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
fed+∠d=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
1+∠2+∠d=180°。
1+∠2+∠d-（∠1+∠b）=180°-180°（等式的性质）。
2=∠b-∠d（等式的性质）。
即∠bed=∠b-∠d。
例3 已知：如图9，ab∥cd，∠abf=∠dce。求证：∠bfe=∠fec。
证法一：过f点作fg∥ab ，则∠abf=∠1（两直线平行，内错角相等）。
过e点作eh∥cd ，则∠dce=∠4（两直线平行，内错角相等）。
∵fg∥ab（已作），ab∥cd（已知），∴fg∥cd（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
又∵eh∥cd （已知），∴fg∥eh（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
2=∠3（两直线平行，内错角相等）。
1+∠2=∠3+∠4（等式的性质）
即∠bfe=∠fec。
证法二：如图10，延长bf、dc相交于g点。
∵ab∥cd（已知），∴1=∠abf（两直线平行，内错角相等）。
又∵∠abf=∠dce（已知），∴1=∠dce（等量代换）。
∴bg∥ec（同位角相等，两直线平行）。
∴∠bfe=∠fec（两直线平行，内错角相等）。
如果延长ce、ab相交于h点（如图11），也可用同样的方法证明（过程略）。
证法三：（如图12）连结bc。
∵ab∥cd（已知），∴abc=∠bcd（两直线平行，内错角相等）。
又∵∠abf=∠dce（已知），∴abc-∠abf =∠bcd-∠dce（等式的性质）。
即∠fbc=∠bce。
∴bf∥ec（内错角相等，两直线平行）。
∴∠bfe=∠fec（两直线平行，内错角相等）。
强化训练。一。填空。
1.完成下列推理过程。
∵∠3= ∠4（已知），∵5= ∠dab（已知），∵cda + 180°（ 已知 ），ad∥bc
2. 如图，已知de∥bc,bd是∠abc的平分线，∠edc＝109°，∠abc＝50°则∠a 度，∠bdc＝ 度。
3. 如图，ab∥cd,be,ce分别平分∠abc，∠bcd,则∠aeb＋∠ced= 。
4、将点p(-3，y)向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点q(x，-1)，则xy
5、已知：如图，直线ab和cd相交于o，oe平分∠boc，且∠aoc=68°，则∠boe
二。选择题。
1.在海上，灯塔位于一艘船的北偏东40度方向，那么这艘船位于这个灯塔的（ ）
a 南偏西50度方向； b南偏西40度方向 ；
c 北偏东50度方向 ； d北偏东40度方向。
2.如图，ab∥ef∥dc，eg∥bd, 则图中与∠1相等的角共有( )个。
a 6个 b .5个 c .4个 d.2个。
3、同一平面内的四条直线若满足a⊥b,b⊥c,c⊥d,则下列式子成立的是（ ）
a、 a∥d b 、b⊥d c、a⊥d d、b∥c
4、如图，∠1和∠2互补，∠3=130°,那么∠4的度数是( )
a. 50° b. 60° c.70° d.80°
5.已知：ab∥cd，且∠abc=20°，∠cfe=30°,则∠bcf的度数是 (
a. 160° b.150° c.70° d.50°
6（2003南通市）判断题已知，如图，下列条件中不能判断直线l1∥l2的是（ ）
a）∠1＝∠3 （b）∠2＝∠3
c）∠4＝∠5 （d）∠2＋∠4＝180°
7.（ 北京市海淀区2024年）. 如图，直线c与直线a、b相交，且a//b，则下列结论：(1)；(2)；(3)中正确的个数为（ ）
a. 0 b. 1 c. 2 d. 3
8.（2024年浙江省富阳市）下列命题正确的是（ ）
a、两直线与第三条直线相交，同位角相等；b、两线与第三线相交，内错角相等；
c、两直线平行，内错角相等d、两直线平行，同旁内角相等。
9.（2024年安徽省）如图，ab∥cd，ac⊥bc，图中与∠cab互余的角有……（
a.1个 b.2个 c.3个 d.4个。
10.( 日照市2024年)如图，已知直线ab∥cd，当点e直线ab与cd之间时，有∠bed＝∠abe＋∠cde成立；而当点e在直线ab与cd之外时，下列关系式成立的是 （
a ∠bed＝∠abe＋∠cde或∠bed＝∠abe－∠cde;
b ∠bed＝∠abe－∠cde
c ∠bed＝∠cde－∠abe或∠bed＝∠abe－∠cde;
d ∠bed＝∠cde－∠abe
三。解下列各题：
1.如图，已知oa⊥oc，ob⊥od，∠3=26°，求∠1、∠2的度数。
2、已知ad∥bc，∠a= ∠c，求证：ab∥cd。
3.如图，ab∥cd,求∠bae＋∠aef＋∠efc＋∠fcd的度数。
4.已知，如图ac⊥bc,hf⊥ab,cd⊥ab, ∠edc与∠chf互补， 求证：de⊥ac.
5.如图，已知ab∥ed，∠abc=135°,∠bcd=80°，求∠cde的度数。
6.已知：如图，ad⊥bc于d，eg⊥bc于g，ae =af.求证：ad平分∠bac。
四、如图a、b是两块麦地，p是一个水库，a、b之间有一条水渠，现在要将水库中的水引到a、b两地浇灌小麦，你认为怎样修水渠省时省料经济合算？请说出你的设计方案，并说明理由。
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