25.3 用频率估计概率（肖莲琴）
一、教学目标。
一）学习目标。
1．通过掷硬币、掷图钉，经历猜测、试验、收集数据、分析结果的过程，体会当试验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性，发展学生根据频率的集中趋势估计概率的意识．
2．在生活实际问题中进一步体会利用频率的集中趋势估计概率，发展学生应用数学的能力．
二）学习重点。
通过试验操作理解频率的稳定性。
三）学习难点。
能根据频率的集中趋势估计概率，并理解概率与频率之间的关系。
二、教学设计。
一）课前设计。
1．预习任务。
1）频率：在n次重复试验中，不确定事件a发生了m次，则比值___称为事件a发生的频率．
概率：刻画事件a发生的可能性大小的数值称为事件a发生的概率．
2）掷一枚质量均匀的硬币时会出现正面向上和反面向上两种结果，这两种结果发生的可能性是一样的 ．准备一枚均匀的一元硬币，随机掷10次，并将你的结果记录在下表中：
3）阅读教材第142页—144页“练习”以前的内容，再填空：
随机事件在一次试验中是否发生不能事先确定，但是在大量重复试验中，一个事件发生的频率总在一个固定的数的附近摆动，显示出一定的稳定性 ，因此我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率 ．
2．预习自测。
1）色盲是伴x染色体隐性先天遗传病，患者中男性远多于女性，从男性体检信息库中随机抽取体检表，统计结果如下表：
根据上表，估计在男性中，男性患色盲的概率为（ ）
a．0.06b．0.07c．0.075 d．0.08
知识点】频率的稳定性。
解题过程】解：观察**中频率的变化规律，当试验次数较大时，频率稳定在0.07附近，因此可以估计男性患色盲的概率为0.07.
思路点拨】并观察频率的变化规律。
答案】b2）关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（ ）
a．频率就是概率。
b．频率等于概率。
c．当试验次数很大时，频率稳定在概率的附近。
d．因为掷硬币出现正面向上的概率是0.5，所以抛掷一枚均匀硬币10次，一定出现5次正面向上。
知识点】频率与概率的关系。
解题过程】解：a频率是试验值，由试验结果决定；概率是理论值，由事件本质决定，因此说法错误；
b多次重复试验中频率稳定在概率附近，不一定相等，因此说法错误；
c在多次重复试验中，频率会稳定在概率的附近，说法正确；
d试验次数较少，偶然性较大，因此说法错误。
思路点拨】理清频率与概率的区别与联系：频率是个试验值，试验结果不相同频率也就不相同，频率只能近似地反映事件发生的可能性的大小；而概率是一个理论值，是由事件的本质决定的，其大小是个固定值，概率能精确的反映事件发生的可能性的大小．在多次重复试验中，频率会稳定在概率的附近，因此可以用多次重复试验中的频率估计概率．
答案】c3）在一个不透明的袋子里装有除颜色以外均相同的8个黑球，4个白球，若干个红球，每次摇匀以后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋子中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋子中的红球有（ ）个。
a．9b．8c．7d．6
知识点】频率估计概率。
解题过程】解：设袋子中红球有x个，由题意可得，摸到红球的概率为0.4，解得x＝8．
思路点拨】大量重复试验中，摸到红球的频率稳定于0.4，因此可以推测摸到红球的概率也为0.4，再根据概率的计算公式可得红球数量．
答案】b4）某乳业集团位于内蒙古天然草场的养牛基地共有4500头牛，饲养员为了了解清楚公牛和母牛的比例，随机捕捉了200头牛做调查，发现其中母牛有180头，请估算该养牛基地共有（ ）头公牛。
a．500b．4050c．3200d．450
知识点】频率与概率的关系。
解题过程】解：在随机捕捉的200头牛中公牛数量为200-180=20头，则估计该养牛场公牛占比为20÷200×100%=10%，估计公牛总量为4500×10%=450头。
思路点拨】随机样本中的公牛比例与整个养牛基地的公牛比例近似相等。
答案】d二）课堂设计。
1．知识回顾。
1）在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求随机事件的概率．
2）我们常用列表和树状图两种方法列举试验的结果．
设计意图】通过对旧知识的复习，为新知识的学习作铺垫。
2．问题**。
**一通过频率估计概率（★，
活动① 以旧引新。
老师提问引入：周末，在我市体育馆有一场精彩的篮球比赛，但是老师手里只有一张票，作为篮球迷的小强和小明都想去，这样老师很为难．请大家帮老师想一个公平的办法，来决定把这张票给谁．
学生：抓阄、抽签、猜拳、掷硬币、……
老师对学生较好的想法予以肯定，并从中抽选出掷硬币的方法．
师追问：为什么要用掷硬币的方法呢？
生答：掷硬币公平，能保证小强和小明得到球票的可能性一样大．
师问：用掷硬币的方法分配球票是一个随机事件，尽管事先不能确定结果是“正面向上”还是“反面向上”，但大家很容易感受到这两种随机事件的发生的可能性是一样，各为0.5，所以对于小强和小明来说这个方法是公平的．但是，我们的直觉是可靠的吗？
掷硬币出现“正面向上”和“反面向上”的可能性真的是相等的吗？有什么方法可以验证呢？
活动② 大胆操作，**新知。
掷硬币，观察随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率的变化趋势。
师问：课前，我们每个同学都进行了掷硬币的试验，并计算了“正面向上”的频率，你有什么发现呢？汇总你们小组的抛掷数据你又有什么发现呢？
如果将我们全班的数据统计起来又能发现什么呢？现在，我们就将每个组掷硬币的数据累计到excel**中（见附件1）：
根据数据自动生成折线统计图：
师问：随着试验次数的增加，“正面向上”的频率有什么规律？
学生观察折线统计图。
生1答：频率约等于0.5
生2答：试验次数比较小时，频率波动比较大，但试验次数较大时，频率比较稳定。
生3答：随着试验次数的增大，频率稳定在0.5的附近。
设计意图】从学生们熟悉的掷硬币活动入手，既简单易操作，且更容易使学生看出频率稳定在0.5的附近，也即是概率的附近．
活动③ 掷图钉，观察随着抛掷次数的增加，“针尖向上”的频率的变化趋势．
师问：可能有同学会觉得老师用大量重复试验的方法得到掷一枚硬币出现“正面向上”的概率未免也太大费周章了，而且最终还只是一个概率的近似值！谁都知道掷一枚硬币出现“正面向上”的概率为0.
5，那么这种用试验的方法求随机事件的概率还有什么优点呢？
师问：（拿出一枚图钉）大家知道随机抛掷一枚图钉出现“针尖向上”的概率是多少吗？
生答：不知道（若有回答“针尖向上”概率为0.5的，需要老师及时引导由于图钉不是均匀物体，所以“针尖向上”和“针尖向下”两种事件的结果出现的可能性不一样大）
师问：你能想办法得到“针尖向上”的概率吗？
学生小组讨论，设计方案：类似抛掷硬币的活动，通过大量重复试验的频率估计“针尖向上”的概率．
小组合作，得到抛掷50次图钉的数据．
老师累计全班数据到excel**中（见附件2）：
根据数据自动生成折线统计图：
师问：随着试验次数的增加，“针尖向上”的频率有什么规律？
学生观察折线统计图。
生1答：频率约等于……
生2答：试验次数比较小时，频率波动比较大，但试验次数较大时，频率比较稳定。
生3答：随着试验次数的增大，频率稳定在……的附近。
设计意图】生活中有很多等可能性事件，不用试验也可以通过列举法理论分析出它发生的概率，但也有很多类似掷图钉的事件，它们不是等可能性试验，那它们发生的概率该如何得到呢？因此设计了本活动，鼓励学生合作**，通过不熟悉的掷图钉活动，进一步感受当试验次数很大时，频率会稳定在一个固定的值的附近，因此可以用大量重复试验的频率估计概率．
总结：1）随机事件在一次试验中是否发生不能事先确定，但是在大量重复试验中，一个事件发生的频率总在一个固定的数的附近摆动，显示出一定的稳定性，这个固定的数就是随机事件发生的概率，因此我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率．
2）概率与频率之间是有区别和联系的：
区别：频率是个试验值，试验结果不相同频率也就不相同，频率只能近似地反映事件发生的可能性的大小；而概率是一个理论值，是由事件的本质决定的，其大小是个固定值，概率能精确的反映事件发生的可能性的大小．
联系：可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率．
3）用试验法通过频率估计概率的方法可以不受“各种结果出现的可能性相等”的条件限制，使得可求概率的随机事件的范围扩大．
**二频率估计概率在生活实际问题中的应用。
活动① 基础性例题。
例1 一个袋子中有两个黄球，三个白球，它们除颜色外均相同，小明随机从袋子中摸出一个球，恰好摸到了一个白球，则下列说法正确的是（ ）
a．小明从袋子中取出白球的概率是1
b．小明从袋子中取出黄球的概率是0
c．这次试验中，小明取出白球的频率是1
d．由这次试验的频率可以去估计取出白球的概率是1
知识点】频率与概率的关系。
解题过程】a．小明从袋子中取出白球的概率是，故a选项错误；
b．小明从袋子中取出黄球的概率是，故b选项错误；
c．这次试验里，一共摸了1次球，恰好是白球，所以这次试验中，小明取出白球的频率是1，故c选项正确；
d．仅进行了一次试验，试验次数太少，频率不能估计概率，故d选项错误．
思路点拨】本题需理清频率与概率的关系，概率是一个理论值，是由事件的本质决定的，其大小是个固定值；频率是个试验值，试验结果不相同频率也就不相同．在大量重复试验中，一个事件发生的频率总在一个固定的数的附近摆动，显示出一定的稳定性，这个固定的数就是随机事件发生的概率，因此我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率．不能将频率、概率混为一谈．
用频率估计概率
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25 3用频率估计概率
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