金丰初中九年级数学兴趣小组练习

——中考数学十大题型二几何类比、拓展、**题。

班级姓名学号

1．已知四边形abcd和四边形cefg都是正方形，且ab＞ce．

1）如图1，连接bg、de．求证：bg=de；

2）如图2，如果正方形abcd的边长为，将正方形cefg绕着点c旋转到某一位置时恰好使得cg∥bd，bg=bd．

求∠bde的度数；

请直接写出正方形cefg的边长的值．

2．（1）阅读材料：

教材中的问题，如图1，把5个边长为1的小正方形组成的十字形纸板剪开，使剪成的若干块能够拼成一个大正方形，小明的思考：因为剪拼前后的图形面积相等，且5个小正方形的总面积为5，所以拼成的大正方形边长为，故沿虚线ab剪开可拼成大正方形的一边，请在图1中用虚线补全剪拼示意图．

2）类比解决：

如图2，已知边长为2的正三角形纸板abc，沿中位线de剪掉△ade，请把纸板剩下的部分dbce剪开，使剪成的若干块能够拼成一个新的正三角形．

拼成的正三角形边长为；

在图2中用虚线画出一种剪拼示意图．

3）灵活运用：

如图3，把一边长为60cm的正方形彩纸剪开，用剪成的若干块拼成一个轴对称的风筝，其中∠bcd=90°，延长dc、bc分别与ab、ad交于点e、f，点e、f分别为ab、ad的中点，**段ac和ef处用轻质钢丝做成十字形风筝龙骨，在图3的正方形中画出一种剪拼示意图，并求出相应轻质钢丝的总长度．（说明：题中的拼接都是不重叠无缝隙无剩余）

3．如图①，在四边形abcd的边ab上任取一点e（点e不与a、b重合），分别连接ed、ec，可以把四边形abcd分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把e叫做四边形abcd的边ab上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把e叫做四边形ab﹣cd的边ab上的“强相似点”，解决问题：

1）如图①，∠a=∠b=∠dec=45°，试判断点e是否是四边形abcd的边ab上的相似点，并说明理由：

2）如图②，在矩形abcd中，a、b、c、d四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形abcd的边ab上的强相似点；

3）如图③，将矩形abcd沿cm折叠，使点d落在ab边上的点e处，若点e恰好是四边形abcm的边ab上的一个强相似点，试证明：．

4．请阅读下列材料，并完成相应的任务：

阿基米德折弦定理：如图1，ab和bc是⊙o的两条弦（即折线abc是圆的一条折弦），bc＞ab，m是的中点，则从m向bc所作垂线的垂足d是折弦abc的中点，即cd=ab+bd．下面是运用“截长法”证明cd=ab+bd的部分证明过程．证明：如图2，在cb上截取cg=ab，连接ma，mb，mc和mg．∵m是的中点，∴ma=mc．…

任务：1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

2）填空：如图3，已知等边△abc内接于⊙o，ab=2，d为上一点，∠abd=45°，ae⊥bd于点e，则△bdc的周长是。

5．已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？

古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式﹣﹣海**式s=（其中a，b，c是三角形的三边长，p=，s为三角形的面积），并给出了证明。

例如：在△abc中，a=3，b=4，c=5，那么它的面积可以这样计算：

a=3，b=4，c=5，∴p==6，∴s===6．

事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决．

如图，在△abc中，bc=5，ac=6，ab=9

1）用海**式求△abc的面积；

2）求△abc的内切圆半径r．

6．如图1，△abc是等腰直角三角形，∠bac=90°，ab=ac，四边形adef是正方形，点b、c分别在边ad、af上，此时bd=cf，bd⊥cf成立．

1）当△abc绕点a逆时针旋转θ（0°＜θ90°）时，如图2，bd=cf成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；

2）当△abc绕点a逆时针旋转45°时，如图3，延长bd交cf于点h．

求证：bd⊥cf；

当ab=2，ad=时，求线段dh的长．

7．已知正方形abcd的边长为1，点p为正方形内一动点，若点m在ab上，且满足△pbc∽△pam，延长bp交ad于点n，连结cm．

1）如图一，若点m**段ab上，求证：ap⊥bn；am=an；

2）①如图二，在点p运动过程中，满足△pbc∽△pam的点m在ab的延长线上时，ap⊥bn和am=an是否成立？（不需说明理由）

是否存在满足条件的点p，使得pc=？请说明理由．

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