魏老师陪你中考**：138***
旋转总结。第一节什么时候用旋转？
旋转的目的是将信息集中。
例1：已知：如图，o为等边三角形abc内一点，oa=3，ob=4，oc=5，求∠abo的度数。
例2：如图，正方形abcd中，e在bc上，f在ab上且∠fde=45°，△dec 按顺时针方向转动一个角度后成为△dga．
1）图中哪一个点是旋转中心？（2）旋转了多少度？
3）指出图中的对应点，对应线段和对应角；
4）求∠gdf的度数．（5）连ef，线段ef跟哪条线段相等？请说明理由。
例3：如图，在正方形abcd中，点e，f分别为dc，bc边上的动点，满足∠eaf=45°，求证：ef=de+bf
第二节怎么转？
怎么转涉及如何选择旋转中心，逆时针还是顺时针，旋转哪个三角形。
即：旋转中心，旋转方向，旋转三角形。
例4：若p为正方形abcd内一点，且使得pa pb pc的长分别为1,2,3，试求。
apb的度数。
分析：旋转中心：有等线段的公共点即可。备选点abcd，但一般会用信息集中点b 旋转角度：等线段ab,bc是90°，初步判定旋转90°。
旋转三角形：△abp,△bpc地位相等，故可将△abp顺时针旋转90°，或△bpc逆时针旋转90°。
例5：点b、c、e在同一条直线上，△abc与△cde都是等边三角形，证明（1）：△ace≌△bcd
例6：如图，在四边形abcd 中，30abc ∠=60adc ∠=ad dc =，证明：222bd ab bc =+
分析：（连接ac ）△adc 为等边三角形。
由30abc ∠=想到可以以bc 或ab 为边，再构建一个等边三角形，而∠dbb’
刚刚好是90°
旋转中心：a 或c
旋转三角形：△abd 或△dbc
采用方法：构造等边三角形。
构造旋转例题。
例7：1）如图1，四边形abcd 中，ab=cb,∠abc=60°， adc=120°，请你猜想线段da 、dc 之和与线段bd 的数量关系，并证明你的结论；
2）如图2，四边形abcd 中，ab=cb,∠abc=60°,若点 p 为四边形abcd 内一点，且∠apd=120° ，请你猜想线段pa 、pc 、pd 之和与线段 bd 的数量关系，并证明你的结论．
分析：1） 由例6可知，类似图1这种图形的旋转点可选a ，c ,受例6启发，可以dc 或ad 边构造等边三角形。（思路基本与例6相同） （2）ab =bc ∠abc =60°
连接ac ，△abc 为等边三角形。 受例6启发，180°-120°=60° 意味着延长dp 可以构造等边三角形。 点a 为两个等边三角形的公共点即为旋转中心。
由例6，例7可知，如果题目给到类似可以得到一个等边三角形。
若题目再给出类似120°，30°的角，即可构造等边三角形。两个等边三角形的公共点即为旋转中心。 图１ 图2
深入练习：例8：（09西城）．已知：pa=，pb=4 ，以ab为一边作正方形abcd，使p、d两点落在直线ab的两侧。
1）如图，当∠apb=45°时，求ab及pd的长；
2）当∠apb变化，且其它条件不变时，求pd 的最大值，及相应∠apb的大小。
分析：1)由a向pb做垂线交pb于点e,可得ab=da=，ap=，题目求pd的长？
此时刚刚总结的规律起作用了。规律第一条，已知内部的边的长度（例1会给你一些启发）
2）旋转中心：有等线段的公共点且最好条件集中的点，选点a
3）旋转线段：已知一个等腰直角三角形abd(可当做)，现在就要以a为旋转中心再构造一个等腰直角三角形。唯一的一条线段就是pa。
4）旋转方向：pa可以逆时针旋转90°，亦可顺时针旋转90°，怎么办？
都试试！5)求pd得最大值即为p’b的最大值，当且仅当p’p+pb时最大。，此时ap’b=135°。
此题若想得满分，两种情况必须都讨论到，而且ap逆时针旋转90°学会转换。即点p转换成点p’
第三节补充知识。
1.若题目中求pa+pb+pc得最小值，旋转60°将三边旋转出即可。也就是等。
边三角形也充当一个旋转边的角色。(详见例9)
2.关键：若旋转60°，旋转后一定存在等边三角形。
若旋转90°，旋转后一定存在等腰直角三角形。
3. 对称中心到各边的距离成比例（方法：做垂线即可）（见例10）
4.过中心对称图形的对称中心的任意一条直线可把该图形分成面积相等的两部分。【原理：任何一部分，以原来的对称中心旋转180°，必与另一部分重合】（见例11）
例9：（1）在边长为2的正方形abcd内求一点p，使得pa+pb+pc之和为最小，并求这个最小值及此时pa、pb、pc的大小．
2）若p为正方形abcd内一点，且使得pa pb pc的长分别为1,2,3，试求∠apb的度数。
图1图2分析：
1）pa+pb+pc之和最小→三边在一条直线上。
旋转中心：点b
旋转角度：60°（将三边集中）
旋转三角形：△bpc或△abp
旋转后如图1
根据三角形两边之和大于第三边，pa+pb+pc之和最小即为三边在一条直线上（如图2）（由计算可知，此时，pb在∠abc的角平分线上，△abp≌△pbc）
例10：（延庆）.如图24－1，正方形abcd 和正方形qmnp ， m 是正方形abcd 的对称中心，mn 交ab 于f ，qm 交ad 于e ． 1）猜想：
me 与mf 的数量关系。
2）如图24－2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，且∠m =∠b ，其它条件不变，探索线段me 与线段mf 的数量关系，并加以证明。
3）如图24－3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且ab:bc=1:2，其它条件不变，探索线段me 与线段mf 的数量关系，并说明理由．
4）如图24－4，若将原题中的“正方形”改为平行四边形，且∠m =∠b ，ab:bc = m ，其它条件不变，求出me ：mf 的值。（直接写出答案）
例11：如图，有一块长方形钢板，工人师傅想把它分成面积相等的两部分，请你在图中画出作图痕迹．pn
如有不懂，请联系魏老师：
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