第二章插值法。
1．当时，,求的二次插值多项式。
解：则二次拉格朗日插值多项式为。
2．给出的数值表。
用线性插值及二次插值计算的近似值。
解：由**知，若采用线性插值法计算即，则。
若采用二次插值法计算时，3．给全的函数表，步长若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求近似值时的总误差界。
解：求解近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。
当时，令。取。令。则。
当时，线性插值多项式为。
插值余项为。
又在建立函数表时，表中数据具有5位有效数字，且，故计算中有误差传播过程。
总误差界为。
4．设为互异节点，求证：
证明。1） 令。
若插值节点为，则函数的次插值多项式为。
插值余项为。
又。由上题结论可知。
得证。5设且求证：
解：令，以此为插值节点，则线性插值多项式为。
插值余项为。
6．在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求的近似值，要使截断误差不超过，问使用函数表的步长h应取多少？
解：若插值节点为和，则分段二次插值多项式的插值余项为。
设步长为h，即。
若截断误差不超过，则。
7．若，解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。
8．如果是m次多项式，记，证明的k阶差分是次多项式，并且（为正整数）。
解：函数的展式为。
其中。又是次数为的多项式。
为阶多项式。
为阶多项式。
依此过程递推，得是次多项式。
是常数。当为正整数时，9．证明。
证明。得证。
10．证明。
证明：由上题结论可知。
得证。11．证明。
证明。得证。
12．若有个不同实根，证明：
证明： 有个不同实根。且。令。
则。而。令。则。
又。得证。
13．证明阶均差有下列性质：
1）若，则。
2）若，则。证明：
得证。得证。
14．求及。解： 若。
则。15．证明两点三次埃尔米特插值余项是。
解：若，且插值多项式满足条件。
插值余项为。
由插值条件可知。
且。可写成。
其中是关于的待定函数，现把看成上的一个固定点，作函数。
根据余项性质，有。
由罗尔定理可知，存在和，使。
即在上有四个互异零点。
根据罗尔定理，在的两个零点间至少有一个零点，故在内至少有三个互异零点，依此类推，在内至少有一个零点。
记为使。又。
其中依赖于。
分段三次埃尔米特插值时，若节点为，设步长为，即。
在小区间上。
16．求一个次数不高于4次的多项式p（x），使它满足。
解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式。
设。其中，a为待定常数。
从而。17．设，在上取，按等距节点求分段线性插值函数，计算各节点间中点处的与值，并估计误差。解：若。
则步长。在小区间上，分段线性插值函数为。
各节点间中点处的与的值为。
当时， 当时，
当时， 当时，
当时， 误差。又。令。
得的驻点为和。
18．求在上分段线性插值函数，并估计误差。
解：在区间上，
函数在小区间上分段线性插值函数为。
误差为。19．求在上分段埃尔米特插值，并估计误差。
解：在区间上，
令。函数在区间上的分段埃尔米特插值函数为。
误差为。又。
20．给定数据表如下：
试求三次样条插值，并满足条件：
解：由此得矩阵形式的方程组为。
2 1m02m1
2m2 2 m3
1 2 m4
求解此方程组得。
三次样条表达式为。
将代入得。由此得矩阵开工的方程组为。
求解此方程组，得。
又三次样条表达式为。
将代入得。21．若是三次样条函数，证明：
若，式中为插值节点，且，则。
证明：从而有。
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