newton插值多项式。
利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，拉格朗日插值公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，不得不重新计算所有插值基函数，这在实际计算中是很不方便的，为了克服这一缺点，引入了出具有承袭性质的牛顿插值多项式，首先介绍在牛顿插值中需要用到的差商计算。
差商。设有函数为一系列互不相等的点，称为关于点的一阶差商，记为，即。
类似于高阶导数的定义，称一阶差商的差商。
为关于的二阶差商，记为。一般地，称。
为关于的阶差商，记为。
函数关于的零阶差商即为函数在的函数值，。
容易证明，差商具有下述性质：
1)各阶差商均具有线性性，即若，则对任意正整数，都有。
2)阶差商可表示成的线性组合。
其中。用归纳法可以证明这一性质。
是显然的。时。
3)各阶差商均具有对称性，即改变节点的位置，差商值不变。如。
4)若是次多项式，则一阶差商是次多项式。
事实上，如果是次多项式，则也是次多项式，且。于是可分解为。
其中为次多项式。所以。
为次多项式。
计算差商。按照差商定义，用两个k-1阶差商的值计算k阶差商，通常用差商表的形式计算和存放（见表1）。
由于差商对节点具有对称性，可以任意选择两个k-1差商的值计算k阶差商。
表1 差商表。
例1】给定函数的函数表。
写出函数的差商表。
解差商表如下：(写牛顿插值多项式)
牛顿插值(根据差商定义推导牛顿插值多项式)
根据差商定义，把看成[a,b]上一点，可得。
左右两端乘（）移项得。
二阶差商：整理得：
同理：只要把后一式代入前一式，就得到。其中。
则。显然，是至多次的多项式。而由。
即得。这表明满足插值条件，因而它是的次插值多项式。这种形式的插值多项式称为newton插值多项式。
newton插值优点：每增加一个节点，插值多项式只增加一项，即。
因此便于递推运算。而且newton插值的计算量小于lagrange插值。
由插值多项式的唯一性可知，次newton插值多项式与次lagrange插值多项式是相等的，即，它们只是表示形式不同。因此newton余项与lagrange余项也是相等的，即。
由此可得差商与导数的关系。
泰勒系数：）
其中。例2】对上例的中的，求节点为的一次插值多项式，节点为的二次插值多项式和节点为的三次插值多项式。
解由上例知，，，于是有。
例2】用newton插值公式计算ln11.5。
解如果仍取点作抛物线插值，按表1计算，结果如下：
n2(x)=2.3979+0.0870(x-11)-0.0035(x-11)(x-12)
ln11.5≈n2(11.5)
若加节点x=10,14,ln10=2.3026,ln14=2.6391，用lnx四次插值多项式近似，则按表1计算结果如下：
所以。ln11.5≈n4(11.5)
牛顿插值的matlab实现。
在matlab中实现牛顿插值的**如下：
function f = newton(x,y,x0)
求已知数据点的牛顿插值多项式。
已知数据点的x坐标向量：x
已知数据点的y坐标向量：y
插值的x坐标：x0
求得的牛顿插值多项式或在x0处的插值：f
syms t;
if(length(x) =length(y))
n = length(x);
c(1:n) =0.0;
elsedisp('x和y的维数不相等！')
return;
endf = y(1);
y1 = 0;
l = 1;
for(i=1:n-1)
for(j=i+1:n)
y1(j) =y(j)-y(i))/x(j)-x(i));
endc(i) =y1(i+1);
l = l*(t-x(i));
f = f + c(i)*l;
simplify(f);
y = y1;
if(i==n-1)
if(nargin ==3)
f = subs(f,'t',x0);
elsef = collect(f将插值多项式展开。
f = vpa(f, 3);
endend
end例3】牛顿插值应用实例。根据下表所列的数据点求出其牛顿插值多项式，并计算当x=2.0时的y值。
解：在命令窗口command window直接输入：
> x=[ 1 1.2 1.8 2.5 4] %逗号与空格等价。
为了验证它已在工作空间中，回车后得到如下结果。x =
> y=[1 1.44 3.24 6.25 16];
> f = newton (x,y)
回车后得到：
f =. 182711e-14-.482154e-14*t+1.00000*t^2-.169177e-14*t^3+.211471e-15*t^4
>> f= newton (x,y,2.0)
回车后得到：f =
**中的数据点是按y= 给出的，当插值函数在x=2.0时的值看出= 4。
在编辑窗口输入：
t=1:0.01:4;
z=.182711e-14-.482154e-14*t+1.00000*t.^2-.169177e-14*t.^3+.211471e-15*t.^4;
x=[1 1.2 1.8 2.5 4];
y=[1 1.44 3.24 6.25 16];
plot(t,z,x,y,'ro');grid
命令执行后得到如图1-2所示图形。
图 1-2 牛顿插值多项式与数据点的关系。
matlab函数调用，存放位置； 命令窗口，编辑窗口的使用。
数值分析第二章
第二章插值法。1 当时，求的二次插值多项式。解 则二次拉格朗日插值多项式为。2 给出的数值表。用线性插值及二次插值计算的近似值。解 由 知，若采用线性插值法计算即，则。若采用二次插值法计算时，3 给全的函数表，步长若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求近似值时的总误差界。解 求解近似值时，误差可...
数值分析第二章
列选主元lu分解法 function l,u,pv luex a luex lu factorization with partial pivoting synopsis l,u,pv luex a input a coefficient matrix output l lower triangul...
数值分析第二章作业
1.当，时，且。求的二次牛顿插值多项式 证明 2.当时，且求的牛顿插值多项式，并给出其差商型余项表达式。3.已知函数满足，求其三次牛顿插值多项式，并证明存在使得。4.已知，求的四次牛顿插值多项式，并给出其导数 假设函数的五阶导数存在 型余项表达式。5.设，为互异实数，是以其为节点的lagrange插...