习题。1. 当x=1,-1,2时，f(x)=0,-3,4,求的二次插值多项式。
1）用单项式基底；
2）用拉格朗日插值基底；
3）用牛顿基底。
证明三种方法得到的多项式是相同的。
解：（1）假设f(x)的二次插值多项式为：
由于 x=1,-1,2时，f(x)=0,-3,4则有；； 求得；；
则有 2）用拉格朗日插值基底：
由于 则有
拉格朗日插值多项式为：
则f(x)二次插值多项式为：
3）采用牛顿基底：
均差表如下所示：
则有牛顿插值多项式为：
则f(x)二次插值多项式为：
由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。
5. 设且求证：
解：令，以此为插值节点，则线性插值多项式为。
因为 所以
插值余项 因为
并且 所以有。
6. 在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求的近似值，要使截断误差不超过，问使用函数表的步长h应取多少？
解：假设插值节点为，和，则分段二次插值多项式的插值余项为。
进而有 假设步长为，即，
则有 当截断误差不超过时，则有：
即有 因此使用函数表的步长h满足。
13. 求次数小于等于3的多项式，使之满足条件。
解：由题目中插值条件，的次数小于等于3，则可设， a为常数。
由于 则有
常数a满足
因此可得多项式为。
16. 求一个次数不高于4次的多项式，使它满足， ,解：由埃米尔特插值进行计算：
由题目分析可知。
由于 又由于
因此有 设，a为待定常数。
由于 并且
则有 进而
20. 给定数据表如下：
试求三次样条插值，并满足条件：
解：由**分析有。
由于；所以，，，
由于 所以 由于；
1）由于，
由此得矩阵形式的线性方程组为。
2 1m02m1
2m22 m3
1 2 m4
求解此方程组得。
由于三次样条表达式为。
将代入上式可得。
2）由于，
同（1）解法。
由此得矩阵形式的线性方程组为。
求解此方程组，得。
由于三次样条表达式为。
将代入得。
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